Theorem fnmpoi 7768

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3151	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 7767	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   × cxp 5553   Fn wfn 6350   ∈ cmpo 7158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690

This theorem is referenced by:  dmmpo  7769  fnoa  8133  fnom  8134  fnoe  8135  fnmap  8413  fnpm  8414  addpqnq  10360  mulpqnq  10363  elq  12351  cnref1o  12385  ccatfn  13924  qnnen  15566  restfn  16698  prdsdsfn  16738  imasdsfn  16787  imasvscafn  16810  homffn  16963  comfffn  16974  comffn  16975  isoval  17035  cofucl  17158  fnfuc  17215  natffn  17219  catcisolem  17366  estrchomfn  17385  funcestrcsetclem4  17393  funcsetcestrclem4  17408  fnxpc  17426  1stfcl  17447  2ndfcl  17448  prfcl  17453  evlfcl  17472  curf1cl  17478  curfcl  17482  hofcl  17509  yonedalem3  17530  yonedainv  17531  plusffn  17861  mulgfval  18226  mulgfvalALT  18227  mulgfn  18229  gimfn  18401  sylow2blem2  18746  scaffn  19655  lmimfn  19798  mplsubrglem  20219  ipffn  20795  tx1stc  22258  tx2ndc  22259  hmeofn  22365  efmndtmd  22709  qustgplem  22729  nmoffn  23320  rrxmfval  24009  mbfimaopnlem  24256  i1fadd  24296  i1fmul  24297  ex-fpar  28241  smatrcl  31061  txomap  31098  qtophaus  31100  pstmxmet  31137  dya2icoseg  31535  dya2iocrfn  31537  fncvm  32504  cntotbnd  35089  rnghmfn  44210  rhmfn  44238  rnghmsscmap2  44293  rnghmsscmap  44294  rngchomffvalALTV  44315  rngchomrnghmresALTV  44316  rhmsscmap2  44339  rhmsscmap  44340  funcringcsetcALTV2lem4  44359  funcringcsetclem4ALTV  44382  srhmsubc  44396  fldc  44403  fldhmsubc  44404  rhmsubclem1  44406  srhmsubcALTV  44414  fldcALTV  44421  fldhmsubcALTV  44422  rhmsubcALTVlem1  44424  rrx2xpref1o  44754