Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdplusg 17312
 Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
frmdplusg.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
frmdplusg + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4 + = (+g𝑀)
2 frmdbas.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3 frmdbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
42, 3frmdbas 17310 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → 𝐵 = Word 𝐼)
5 eqid 2621 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
62, 4, 5frmdval 17309 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩})
76fveq2d 6152 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
81, 7syl5eq 2667 . . 3 (𝐼 ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
9 wrdexg 13254 . . . 4 (𝐼 ∈ V → Word 𝐼 ∈ V)
10 ccatfn 13296 . . . . . . 7 ++ Fn (V × V)
11 xpss 5187 . . . . . . 7 (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)
12 fnssres 5962 . . . . . . 7 (( ++ Fn (V × V) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
1310, 11, 12mp2an 707 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)
14 ovres 6753 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
152, 3frmdelbas 17311 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑥 ∈ Word 𝐼)
162, 3frmdelbas 17311 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑦 ∈ Word 𝐼)
17 ccatcl 13298 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Word 𝐼𝑦 ∈ Word 𝐼) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1815, 16, 17syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼)
2019rgen2a 2971 . . . . . 6 𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼
21 ffnov 6717 . . . . . 6 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ↔ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼))
2213, 20, 21mpbir2an 954 . . . . 5 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼
23 fvex 6158 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) ∈ V
243, 23eqeltri 2694 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2524, 24xpex 6915 . . . . 5 (𝐵 × 𝐵) ∈ V
26 fex2 7068 . . . . 5 ((( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
2722, 25, 26mp3an12 1411 . . . 4 (Word 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
28 eqid 2621 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}
2928grpplusg 15913 . . . 4 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
309, 27, 293syl 18 . . 3 (𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
318, 30eqtr4d 2658 . 2 (𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
32 fvprc 6142 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
332, 32syl5eq 2667 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
3433fveq2d 6152 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘∅))
351, 34syl5eq 2667 . . . 4 𝐼 ∈ V → + = (+g‘∅))
36 res0 5360 . . . . 5 ( ++ ↾ ∅) = ∅
37 df-plusg 15875 . . . . . 6 +g = Slot 2
3837str0 15832 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
3936, 38eqtr2i 2644 . . . 4 (+g‘∅) = ( ++ ↾ ∅)
4035, 39syl6eq 2671 . . 3 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ ∅))
4133fveq2d 6152 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = (Base‘∅))
42 base0 15833 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
4341, 3, 423eqtr4g 2680 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝐵 = ∅)
4443xpeq2d 5099 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
45 xp0 5511 . . . . 5 (𝐵 × ∅) = ∅
4644, 45syl6eq 2671 . . . 4 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
4746reseq2d 5356 . . 3 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ ∅))
4840, 47eqtr4d 2658 . 2 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4931, 48pm2.61i 176 1 + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  {cpr 4150  ⟨cop 4154   × cxp 5072   ↾ cres 5076   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  2c2 11014  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  ndxcnx 15778  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  freeMndcfrmd 17305 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-frmd 17307 This theorem is referenced by:  frmdadd  17313
 Copyright terms: Public domain W3C validator