Theorem clselmap 40484

Description: The closure function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clselmap.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
clselmap.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
clselmap	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem clselmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clselmap.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		clselmap.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
3	1, 2	clsf2 40483	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
4	1	topopn 21516	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5	4	pwexd 5282	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	5, 5	elmapd 8422	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ↔ 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
7	3, 6	mpbird 259	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4840  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  Topctop 21503  clsccl 21628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-map 8410  df-top 21504  df-cld 21629  df-cls 21631

This theorem is referenced by:  dssmapntrcls  40485  dssmapclsntr  40486