Theorem cntrss 18453

Description: The center is a subset of the base field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntrss	⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntrss.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2820	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
3	1, 2	cntrval 18442	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) = (Cntr‘𝑀)
4	1, 2	cntzssv 18451	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrri 3995	1 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1536   ⊆ wss 3929  ‘cfv 6348  Basecbs 16476  Cntzccntz 18438  Cntrccntr 18439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7152  df-cntz 18440  df-cntr 18441

This theorem is referenced by:  cntrcmnd  18955  primefld  19577