MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg3 20677
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eltg3
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6177 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
2 inex1g 4761 . . . 4 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
4 eltg4i 20675 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
5 inss1 3811 . . . . . . 7 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵
6 sseq1 3605 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵))
75, 6mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑥𝐵)
87biantrurd 529 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = 𝑥 ↔ (𝑥𝐵𝐴 = 𝑥)))
9 unieq 4410 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
109eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
118, 10bitr3d 270 . . . 4 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ((𝑥𝐵𝐴 = 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
1211spcegv 3280 . . 3 ((𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V → (𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥)))
133, 4, 12sylc 65 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥))
14 eltg3i 20676 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
15 eleq1 2686 . . . . 5 (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
1614, 15syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → (𝐴 = 𝑥𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
1716expimpd 628 . . 3 (𝐵𝑉 → ((𝑥𝐵𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
1817exlimdv 1858 . 2 (𝐵𝑉 → (∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
1913, 18impbid2 216 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402  dom cdm 5074  cfv 5847  topGenctg 16019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-topgen 16025
This theorem is referenced by:  tgval3  20678  tgtop  20688  eltop3  20691  tgidm  20695  bastop1  20708  tgrest  20873  tgcn  20966  txbasval  21319  opnmblALT  23277  mbfimaopnlem  23328  isfne3  31980  fneuni  31984  dissneqlem  32819  tgqioo2  39185
  Copyright terms: Public domain W3C validator