MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnmblALT 23122
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 23121 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 9118. (This was also the original proof before the current opnmbl 23121 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 22321 . . . 4 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
2 eltg3 20525 . . . 4 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥))
4 uniiun 4503 . . . . . . 7 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
5 ssdomg 7865 . . . . . . . . . 10 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
7 omelon 8404 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
8 qnnen 14730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ≈ ℕ
9 xpen 7986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
108, 8, 9mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
11 xpnnen 14727 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
1210, 11entri 7874 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
13 nnenom 12599 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ≈ ω
1412, 13entr2i 7875 . . . . . . . . . . . 12 ω ≈ (ℚ × ℚ)
15 isnumi 8633 . . . . . . . . . . . 12 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
167, 14, 15mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
17 ioof 12101 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18 ffun 5947 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun (,)
20 qssre 11633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ⊆ ℝ
21 ressxr 9940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℝ*
2220, 21sstri 3576 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℝ*
23 xpss12 5137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2422, 22, 23mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2517fdmi 5951 . . . . . . . . . . . . 13 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2624, 25sseqtr4i 3600 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
27 fores 6022 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
2819, 26, 27mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
29 fodomnum 8741 . . . . . . . . . . 11 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
3016, 28, 29mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
31 domentr 7879 . . . . . . . . . 10 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ)
3230, 12, 31mp2an 703 . . . . . . . . 9 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ
33 domtr 7873 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
346, 32, 33sylancl 692 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ℕ)
35 imassrn 5383 . . . . . . . . . . 11 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
36 ffn 5944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3717, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
38 ioombl 23085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
3938rgen2w 2908 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
40 ffnov 6640 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol))
4137, 39, 40mpbir2an 956 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
42 frn 5952 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol → ran (,) ⊆ dom vol)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) ⊆ dom vol
4435, 43sstri 3576 . . . . . . . . . 10 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol
45 sstr 3575 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol) → 𝑥 ⊆ dom vol)
4644, 45mpan2 702 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ⊆ dom vol)
47 dfss3 3557 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
4846, 47sylib 206 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
49 iunmbl2 23077 . . . . . . . 8 ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
5034, 48, 49syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
514, 50syl5eqel 2691 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ∈ dom vol)
52 eleq1 2675 . . . . . 6 (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑥 ∈ dom vol))
5351, 52syl5ibrcom 235 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → (𝐴 = 𝑥𝐴 ∈ dom vol))
5453imp 443 . . . 4 ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
5554exlimiv 1844 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
563, 55sylbi 205 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝐴 ∈ dom vol)
57 eqid 2609 . . 3 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5857tgqioo 22359 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5956, 58eleq2s 2705 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wral 2895  wss 3539  𝒫 cpw 4107   cuni 4366   ciun 4449   class class class wbr 4577   × cxp 5026  dom cdm 5028  ran crn 5029  cres 5030  cima 5031  Oncon0 5626  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785  wf 5786  ontowfo 5788  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6935  cen 7816  cdom 7817  cardccrd 8622  cr 9792  *cxr 9930  cn 10870  cq 11623  (,)cioo 12005  topGenctg 15870  TopBasesctb 20468  volcvol 22984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xadd 11782  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-topgen 15876  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bases 20470  df-ovol 22985  df-vol 22986
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator