MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finptfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finptfin 21234
Description: A finite cover is a point-finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
finptfin (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem finptfin
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabfi 8132 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → {𝑦𝐴𝑥𝑦} ∈ Fin)
21ralrimivw 2961 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 𝐴{𝑦𝐴𝑥𝑦} ∈ Fin)
3 eqid 2621 . . 3 𝐴 = 𝐴
43isptfin 21232 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 𝐴{𝑦𝐴𝑥𝑦} ∈ Fin))
52, 4mpbird 247 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911   cuni 4404  Fincfn 7902  PtFincptfin 21219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-om 7016  df-er 7690  df-en 7903  df-fin 7906  df-ptfin 21222
This theorem is referenced by:  comppfsc  21248
  Copyright terms: Public domain W3C validator