Theorem grothtsk 10257

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom, using abbreviations. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grothtsk	⊢ ∪ Tarski = V

Proof of Theorem grothtsk

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 10246	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
2		eltskg 10172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
3	2	elv 3499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
4	3	anbi2i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
5		3anass 1091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
6	4, 5	bitr4i 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
7	6	exbii 1848	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	1, 7	mpbir 233	. . . 4 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski)
9		eluni 4841	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski))
10	8, 9	mpbir 233	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ ∪ Tarski
11		vex 3497	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ V
12	10, 11	2th 266	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ 𝑤 ∈ V)
13	12	eqriv 2818	1 ⊢ ∪ Tarski = V

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5066   ≈ cen 8506  Tarskictsk 10170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-groth 10245

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-tsk 10171

This theorem is referenced by:  inaprc  10258  tskmval  10261  tskmcl  10263