Theorem hcauseq 28941

Description: A Cauchy sequences on a Hilbert space is a sequence. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hcauseq	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hcauseq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hcau 28940	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
2	1	simplbi 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   class class class wbr 5047  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7137   < clt 10656  ℕcn 11619  ℤ_≥cuz 12225  ℝ⁺crp 12371   ℋchba 28675  norm_ℎcno 28679   −_ℎ cmv 28681  Cauchyccauold 28682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7442  ax-cnex 10574  ax-1cn 10576  ax-addcl 10578  ax-hilex 28755

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3012  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7140  df-oprab 7141  df-mpo 7142  df-om 7562  df-wrecs 7928  df-recs 7989  df-rdg 8027  df-map 8389  df-nn 11620  df-hcau 28729

This theorem is referenced by: (None)