Theorem hcau 28961

Description: Member of the set of Cauchy sequences on a Hilbert space. Definition for Cauchy sequence in [Beran] p. 96. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hcau	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹

Proof of Theorem hcau

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
2		fveq1 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
3	1, 2	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧)))
4	3	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) = (normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))))
5	4	breq1d 5076	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
6	5	rexralbidv 3301	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
7	6	ralbidv 3197	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
8		df-hcau 28750	. . 3 ⊢ Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥}
9	7, 8	elrab2 3683	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
10		ax-hilex 28776	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
11		nnex 11644	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
12	10, 11	elmap 8435	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
13	12	anbi1i 625	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
14	9, 13	bitri 277	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406   < clt 10675  ℕcn 11638  ℤ_≥cuz 12244  ℝ⁺crp 12390   ℋchba 28696  norm_ℎcno 28700   −_ℎ cmv 28702  Cauchyccauold 28703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597  ax-hilex 28776

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-map 8408  df-nn 11639  df-hcau 28750

This theorem is referenced by:  hcauseq  28962  hcaucvg  28963  seq1hcau  28964  chscllem2  29415