Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  insiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem insiga 29333
Description: The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
insiga ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))

Proof of Theorem insiga
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intex 4742 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
21biimpi 204 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
32adantr 479 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ V)
4 intssuni 4428 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
54adantr 479 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 𝐴)
6 simpr 475 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
7 elpwi 4116 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ (sigAlgebra‘𝑂))
8 sigasspw 29312 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
9 selpw 4114 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
108, 9sylibr 222 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110ssriv 3571 . . . . . 6 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
127, 11syl6ss 3579 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
136, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
14 sspwuni 4541 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
1513, 14sylib 206 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
165, 15sstrd 3577 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
17 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
18 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
19 elelpwi 4118 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
2017, 18, 19syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
21 vex 3175 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
22 issiga 29307 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2420, 23sylib 206 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2524simprd 477 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))
2625simp1d 1065 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑂𝑠)
2726ralrimiva 2948 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠)
28 n0 3889 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠𝐴)
2928biimpi 204 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3029adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3120ex 448 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑠𝐴𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3231eximdv 1832 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (∃𝑠 𝑠𝐴 → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3330, 32mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
34 elfvex 6116 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3534exlimiv 1844 . . . . . 6 (∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3633, 35syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 ∈ V)
37 elintg 4412 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3927, 38mpbird 245 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 𝐴)
40 simpll 785 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
41 simpr 475 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
4240, 41jca 552 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
43 elinti 4414 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐴 → (𝑠𝐴𝑥𝑠))
4443imp 443 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4544adantll 745 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4625simp2d 1066 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4746r19.21bi 2915 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥𝑠) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4842, 45, 47syl2anc 690 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4948ralrimiva 2948 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
50 difexg 4730 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (𝑂𝑥) ∈ V)
5136, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂𝑥) ∈ V)
5251adantr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ V)
53 elintg 4412 . . . . . 6 ((𝑂𝑥) ∈ V → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5549, 54mpbird 245 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
5655ralrimiva 2948 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
57 simplll 793 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
58 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
5957, 58jca 552 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
60 simpllr 794 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
61 elpwi 4116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 𝐴)
62 intss1 4421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴 𝐴𝑠)
6361, 62sylan9ss 3580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
64 selpw 4114 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
6563, 64sylibr 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6660, 65sylancom 697 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6759, 66jca 552 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠))
68 simplr 787 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ≼ ω)
6925simp3d 1067 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
7069r19.21bi 2915 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
7167, 68, 70sylc 62 . . . . . . 7 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
7271ralrimiva 2948 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠)
73 uniexg 6830 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 𝑥 ∈ V)
7473ad2antlr 758 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ V)
75 elintg 4412 . . . . . . 7 ( 𝑥 ∈ V → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7674, 75syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7772, 76mpbird 245 . . . . 5 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 𝐴)
7877ex 448 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
7978ralrimiva 2948 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
8039, 56, 793jca 1234 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))
81 issiga 29307 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))))
8281biimpar 500 . 2 (( 𝐴 ∈ V ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
833, 16, 80, 82syl12anc 1315 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  c0 3873  𝒫 cpw 4107   cuni 4366   cint 4404   class class class wbr 4577  cfv 5790  ωcom 6934  cdom 7816  sigAlgebracsiga 29303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-siga 29304
This theorem is referenced by:  sigagensiga  29337
  Copyright terms: Public domain W3C validator