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Theorem insiga 30328
Description: The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
insiga ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))

Proof of Theorem insiga
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intex 4850 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
21biimpi 206 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
32adantr 480 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ V)
4 intssuni 4531 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
54adantr 480 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 𝐴)
6 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
7 elpwi 4201 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ (sigAlgebra‘𝑂))
8 sigasspw 30307 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
9 selpw 4198 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
108, 9sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110ssriv 3640 . . . . . 6 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
127, 11syl6ss 3648 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
136, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
14 sspwuni 4643 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
1513, 14sylib 208 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
165, 15sstrd 3646 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
17 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
18 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
19 elelpwi 4204 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
2017, 18, 19syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
21 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
22 issiga 30302 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2420, 23sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2524simprd 478 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))
2625simp1d 1093 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑂𝑠)
2726ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠)
28 n0 3964 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠𝐴)
2928biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3120ex 449 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑠𝐴𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3231eximdv 1886 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (∃𝑠 𝑠𝐴 → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3330, 32mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
34 elfvex 6259 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3534exlimiv 1898 . . . . . 6 (∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3633, 35syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 ∈ V)
37 elintg 4515 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3927, 38mpbird 247 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 𝐴)
40 simpll 805 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
41 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
4240, 41jca 553 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
43 elinti 4517 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐴 → (𝑠𝐴𝑥𝑠))
4443imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4544adantll 750 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4625simp2d 1094 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4746r19.21bi 2961 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥𝑠) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4842, 45, 47syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4948ralrimiva 2995 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
50 difexg 4841 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (𝑂𝑥) ∈ V)
5136, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂𝑥) ∈ V)
5251adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ V)
53 elintg 4515 . . . . . 6 ((𝑂𝑥) ∈ V → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5549, 54mpbird 247 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
5655ralrimiva 2995 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
57 simplll 813 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
58 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
5957, 58jca 553 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
60 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
61 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 𝐴)
62 intss1 4524 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴 𝐴𝑠)
6361, 62sylan9ss 3649 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
64 selpw 4198 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
6563, 64sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6660, 65sylancom 702 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6759, 66jca 553 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠))
68 simplr 807 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ≼ ω)
6925simp3d 1095 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
7069r19.21bi 2961 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
7167, 68, 70sylc 65 . . . . . . 7 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
7271ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠)
73 uniexg 6997 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 𝑥 ∈ V)
7473ad2antlr 763 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ V)
75 elintg 4515 . . . . . . 7 ( 𝑥 ∈ V → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7674, 75syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7772, 76mpbird 247 . . . . 5 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 𝐴)
7877ex 449 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
7978ralrimiva 2995 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
8039, 56, 793jca 1261 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))
81 issiga 30302 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))))
8281biimpar 501 . 2 (( 𝐴 ∈ V ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
833, 16, 80, 82syl12anc 1364 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   cint 4507   class class class wbr 4685  cfv 5926  ωcom 7107  cdom 7995  sigAlgebracsiga 30298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-siga 30299
This theorem is referenced by:  sigagensiga  30332
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