Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intex 4785
 Description: The intersection of a nonempty class exists. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 44 and its converse. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.)
Assertion
Ref Expression
intex (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem intex
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3912 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 intss1 4462 . . . . 5 (𝑥𝐴 𝐴𝑥)
3 vex 3192 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
43ssex 4767 . . . . 5 ( 𝐴𝑥 𝐴 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝑥𝐴 𝐴 ∈ V)
65exlimiv 1855 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 𝐴 ∈ V)
71, 6sylbi 207 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
8 vprc 4761 . . . 4 ¬ V ∈ V
9 inteq 4448 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
10 int0 4460 . . . . . 6 ∅ = V
119, 10syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = V)
1211eleq1d 2683 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ∈ V ↔ V ∈ V))
138, 12mtbiri 317 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ V)
1413necon2ai 2819 . 2 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)
157, 14impbii 199 1 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3189   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  ∩ cint 4445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-v 3191  df-dif 3562  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-int 4446 This theorem is referenced by:  intnex  4786  intexab  4787  iinexg  4789  onint0  6950  onintrab  6955  onmindif2  6966  fival  8270  elfi2  8272  elfir  8273  dffi2  8281  elfiun  8288  fifo  8290  tz9.1c  8558  tz9.12lem1  8602  tz9.12lem3  8604  rankf  8609  cardf2  8721  cardval3  8730  cardid2  8731  cardcf  9026  cflim2  9037  intwun  9509  wuncval  9516  inttsk  9548  intgru  9588  gruina  9592  dfrtrcl2  13744  mremre  16196  mrcval  16202  asplss  19261  aspsubrg  19263  toponmre  20820  subbascn  20981  insiga  30005  sigagenval  30008  sigagensiga  30009  dmsigagen  30012  dfon2lem8  31431  dfon2lem9  31432  igenval  33527  pclvalN  34691  elrfi  36772  ismrcd1  36776  mzpval  36810  dmmzp  36811  salgenval  39874  intsal  39881
 Copyright terms: Public domain W3C validator