Theorem isf32lem3 9777

Description: Lemma for isfin3-2 9789. Being a chain, difference sets are disjoint (one case). (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem3	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4103	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → 𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴))
2		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ∈ ω)
3		peano2 7602	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
4	3	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ∈ ω)
5		nnord 7588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
6	5	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → Ord 𝐴)
7		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
8		ordsucss 7533	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
9	6, 7, 8	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → suc 𝐵 ⊆ 𝐴)
10		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → 𝜑)
11		isf32lem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
12		isf32lem.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
13		isf32lem.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
14	11, 12, 13	isf32lem1 9775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
15	2, 4, 9, 10, 14	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐵))
16	15	sseld 3966	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ (𝐹‘𝐴) → 𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵)))
17		elndif 4105	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐹‘suc 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
18	1, 16, 17	syl56 36	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) → ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))))
19	18	ralrimiv 3181	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
20		disj 4399	. 2 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ¬ 𝑎 ∈ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)))
21	19, 20	sylibr 236	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (((𝐹‘𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹‘𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ∖ cdif 3933   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539  ∩ cint 4876  ran crn 5556  Ord word 6190  suc csuc 6193  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  ωcom 7580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fv 6363  df-om 7581

This theorem is referenced by:  isf32lem4  9778