MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2 7048
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 7043 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
21biimpi 206 1 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  suc csuc 5694  ωcom 7027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-om 7028
This theorem is referenced by:  onnseq  7401  seqomlem1  7505  seqomlem4  7508  onasuc  7568  onmsuc  7569  onesuc  7570  nnacl  7651  nnecl  7653  nnacom  7657  nnmsucr  7665  1onn  7679  2onn  7680  3onn  7681  4onn  7682  nnneo  7691  nneob  7692  omopthlem1  7695  onomeneq  8110  dif1en  8153  findcard  8159  findcard2  8160  unbnn2  8177  dffi3  8297  wofib  8410  axinf2  8497  dfom3  8504  noinfep  8517  cantnflt  8529  trcl  8564  cardsucnn  8771  dif1card  8793  fseqdom  8809  alephfp  8891  ackbij1lem16  9017  ackbij2lem2  9022  ackbij2lem3  9023  ackbij2  9025  sornom  9059  infpssrlem4  9088  fin23lem26  9107  fin23lem20  9119  fin23lem38  9131  fin23lem39  9132  isf32lem2  9136  isf32lem3  9137  isf34lem7  9161  isf34lem6  9162  fin1a2lem6  9187  fin1a2lem9  9190  fin1a2lem12  9193  domtriomlem  9224  axdc2lem  9230  axdc3lem  9232  axdc3lem2  9233  axdc3lem4  9235  axdc4lem  9237  axdclem2  9302  peano2nn  10992  om2uzrani  12707  uzrdgsuci  12715  fzennn  12723  axdc4uzlem  12738  bnj970  30778  trpredtr  31484  elhf2  31977  0hf  31979  hfsn  31981  hfpw  31987  neibastop2lem  32050  finxpsuclem  32905
  Copyright terms: Public domain W3C validator