Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neik0pk1imk0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neik0pk1imk0 37827
Description: Kuratowski's K0' and K1 axioms imply K0. Neighborhood version. (Contributed by RP, 3-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
neik0pk1imk0.bex (𝜑𝐵𝑉)
neik0pk1imk0.n (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
neik0pk1imk0.k0p (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
neik0pk1imk0.k1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
Assertion
Ref Expression
neik0pk1imk0 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡   𝑁,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑥   𝑥,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐵(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem neik0pk1imk0
StepHypRef Expression
1 neik0pk1imk0.k1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
2 neik0pk1imk0.bex . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
3 pwidg 4144 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
5 sseq2 3606 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐵 → (𝑠𝑡𝑠𝐵))
65anbi2d 739 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
7 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 ∈ (𝑁𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
86, 7imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
98rspcv 3291 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1110ralimdv 2957 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1211ralimdv 2957 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
131, 12mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
14 r19.23v 3016 . . . . . 6 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1514biimpi 206 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1716ralimdv 2957 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1813, 17mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
19 neik0pk1imk0.k0p . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
20 neik0pk1imk0.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
21 elmapi 7823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵) → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2322ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
2423elpwid 4141 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ⊆ 𝒫 𝐵)
2524sseld 3582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵))
2625ancrd 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
2726eximdv 1843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
28 n0 3907 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
29 df-rex 2913 . . . . . . . 8 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
3027, 28, 293imtr4g 285 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
3130imp 445 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
32 elpwi 4140 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
3325, 32syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3433alrimiv 1852 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑠(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
35 alral 2923 . . . . . . . 8 (∀𝑠(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3736adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3831, 37r19.29imd 3067 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
3938ex 450 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
4039ralimdva 2956 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
4119, 40mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
42 ralim 2943 . 2 (∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
4318, 41, 42sylc 65 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-map 7804
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator