MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmapi 7743
Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapi (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶𝐵)

Proof of Theorem elmapi
StepHypRef Expression
1 elmapex 7742 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2 elmapg 7735 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶𝐵))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶𝐵))
43ibi 254 1 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976  Vcvv 3172  wf 5786  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-map 7724
This theorem is referenced by:  elmapfn  7744  elmapfun  7745  elmapssres  7746  mapsspm  7755  map0b  7760  mapss  7764  mapsncnv  7768  ralxpmap  7771  mapen  7987  mapxpen  7989  mapunen  7992  mapfienlem1  8171  mapfienlem2  8172  mapfienlem3  8173  mapfien  8174  wemaplem2  8313  wemappo  8315  wemapsolem  8316  wemapso  8317  wemapso2lem  8318  wemapwe  8455  iunmapdisj  8707  fseqenlem1  8708  fseqenlem2  8709  numacn  8733  finacn  8734  acndom  8735  acndom2  8738  infpwfien  8746  infmap2  8901  fin23lem40  9034  isf32lem12  9047  isf34lem6  9063  acncc  9123  pwfseqlem3  9339  pwxpndom2  9344  ramval  15499  ramub  15504  ramcl  15520  prmgaplem7  15548  prmgaplem8  15549  imasdsval2  15948  funcf2  16300  funcpropd  16332  funcestrcsetclem8  16559  funcestrcsetclem9  16560  funcsetcestrclem8  16574  funcsetcestrclem9  16575  fsfnn0gsumfsffz  18151  gsummptnn0fzfv  18156  mplbas2  19240  ltbwe  19242  psr1baslem  19325  psr1basf  19341  fvcoe1  19347  coe1mul2lem1  19407  ply1coe  19436  frlmfibas  19872  frlmbas3  19882  frlmipval  19885  frlmphllem  19886  frlmphl  19887  elfilspd  19909  islindf4  19944  mamures  19963  mndvcl  19964  mndvass  19965  mndvlid  19966  mndvrid  19967  grpvlinv  19968  grpvrinv  19969  mhmvlin  19970  mamucl  19974  mamuass  19975  mamudi  19976  mamudir  19977  mamuvs1  19978  mamuvs2  19979  mamulid  20014  mamurid  20015  mattposcl  20026  mattpostpos  20027  tposmap  20030  mamutpos  20031  matgsumcl  20033  mavmulcl  20120  mavmulass  20122  mavmulsolcl  20124  marepvcl  20142  1marepvmarrepid  20148  mdetleib2  20161  mdetf  20168  mdetdiaglem  20171  mdetrlin  20175  mdetrsca  20176  mdetralt  20181  mdetunilem7  20191  mdetunilem9  20193  maducoeval2  20213  madutpos  20215  madugsum  20216  madurid  20217  cramerimplem1  20256  m2pmfzmap  20319  decpmatval  20337  pmatcollpw3lem  20355  pmatcollpw3fi1lem1  20358  pmatcollpw3fi1lem2  20359  pm2mp  20397  chfacfisf  20426  chfacfisfcpmat  20427  chfacfscmulgsum  20432  chfacfpmmulgsum  20436  chfacfpmmulgsum2  20437  cayhamlem1  20438  cpmadugsumlemF  20448  cpmadugsumfi  20449  cayhamlem2  20456  chcoeffeqlem  20457  cayleyhamilton1  20464  pnrmopn  20905  xkoptsub  21215  xkopt  21216  tmdgsum  21657  imasdsf1olem  21936  rrxnm  22932  rrxds  22934  rrxf  22937  rrxmvallem  22940  ehlbase  22947  ovolscalem2  23034  uniioombl  23108  tdeglem2  23570  plypf1  23717  ulmclm  23890  ulmcaulem  23897  ulmcau  23898  ulmss  23900  ulmbdd  23901  ulmcn  23902  ulmdvlem1  23903  ulmdvlem2  23904  ulmdvlem3  23905  mtest  23907  mtestbdd  23908  mbfulm  23909  iblulm  23910  itgulm  23911  itgulm2  23912  adjval2  27968  fcobijfs  28723  resf1o  28727  fpwrelmap  28730  smatrcl  29024  mbfmf  29478  elmbfmvol2  29490  eulerpartlemelr  29580  eulerpartlemf  29593  eulerpartlemt  29594  eulerpartgbij  29595  eulerpartlemgu  29600  eulerpartlemgh  29601  eulerpartlemgf  29602  eulerpartlemgs2  29603  mrsubff1  30499  mrsub0  30501  mrsubf  30502  mrsubccat  30503  mrsubcn  30504  msubrn  30514  msubff  30515  msubf  30517  msubff1  30541  mclsind  30555  uncf  32382  curunc  32385  unccur  32386  matunitlindflem1  32399  matunitlindflem2  32400  poimirlem4  32407  poimirlem5  32408  poimirlem6  32409  poimirlem7  32410  poimirlem8  32411  poimirlem10  32413  poimirlem11  32414  poimirlem12  32415  poimirlem16  32419  poimirlem17  32420  poimirlem18  32421  poimirlem19  32422  poimirlem20  32423  poimirlem21  32424  poimirlem22  32425  poimirlem25  32428  poimirlem26  32429  poimirlem27  32430  poimirlem29  32432  poimirlem30  32433  poimirlem31  32434  poimirlem32  32435  poimir  32436  broucube  32437  mblfinlem3  32442  mblfinlem4  32443  ismblfin  32444  rrnmet  32622  rrndstprj1  32623  rrndstprj2  32624  rrncmslem  32625  rrnequiv  32628  mapco2g  36119  mapfzcons1  36122  mapfzcons2  36124  mzpcompact2lem  36156  eldiophb  36162  elmapresaun  36176  elmapresaunres2  36177  eq0rabdioph  36182  rexrabdioph  36200  eldioph4b  36217  diophren  36219  rmydioph  36423  rmxdioph  36425  expdiophlem2  36431  expdioph  36432  pw2f1o2val2  36449  wepwsolem  36454  pwfi2f1o  36508  rfovcnvf1od  37142  rfovcnvfvd  37145  fsovrfovd  37147  fsovcnvlem  37151  ntrk0kbimka  37181  neik0pk1imk0  37189  ntrclsfveq1  37202  ntrclsfveq2  37203  ntrclsfveq  37204  ntrclsss  37205  ntrclsiso  37209  ntrclsk2  37210  ntrclskb  37211  ntrclsk3  37212  ntrclsk13  37213  ntrclsk4  37214  ntrneifv3  37224  ntrneineine0lem  37225  ntrneineine1lem  37226  ntrneifv4  37227  ntrneiel2  37228  ntrneicls00  37231  ntrneicls11  37232  ntrneiiso  37233  ntrneik2  37234  ntrneikb  37236  ntrneixb  37237  ntrneik3  37238  ntrneix3  37239  ntrneik13  37240  ntrneix13  37241  ntrneik4w  37242  ntrneik4  37243  clsneifv3  37252  clsneifv4  37253  neicvgfv  37263  k0004ss2  37294  k0004val0  37296  mapss2  38216  difmap  38218  inmap  38220  difmapsn  38223  ssmapsn  38227  mccllem  38488  dvnprodlem1  38660  dvnprodlem2  38661  fourierdlem11  38835  fourierdlem12  38836  fourierdlem13  38837  fourierdlem14  38838  fourierdlem34  38858  fourierdlem41  38865  fourierdlem48  38871  fourierdlem49  38872  fourierdlem54  38877  fourierdlem63  38886  fourierdlem64  38887  fourierdlem65  38888  fourierdlem69  38892  fourierdlem72  38895  fourierdlem74  38897  fourierdlem75  38898  fourierdlem79  38902  fourierdlem85  38908  fourierdlem88  38911  fourierdlem89  38912  fourierdlem90  38913  fourierdlem91  38914  fourierdlem92  38915  fourierdlem94  38917  fourierdlem97  38920  fourierdlem103  38926  fourierdlem104  38927  fourierdlem111  38934  fourierdlem113  38936  etransclem24  38975  etransclem26  38977  etransclem27  38978  etransclem28  38979  etransclem31  38982  etransclem32  38983  etransclem33  38984  etransclem34  38985  etransclem35  38986  etransclem37  38988  etransclem38  38989  rrxbasefi  39003  rrxdsfi  39005  rrxtopnfi  39006  rrndistlt  39010  qndenserrnbllem  39014  rrxsnicc  39020  ioorrnopnlem  39024  subsaliuncl  39076  hoicvr  39262  ovnprodcl  39268  ovnsupge0  39271  ovnlecvr  39272  ovncvrrp  39278  ovn0lem  39279  ovnsubaddlem1  39284  sge0hsphoire  39303  hoidmv1le  39308  hoidmvlelem1  39309  hoidmvlelem2  39310  hoidmvlelem3  39311  hoidmvlelem4  39312  hoidmvlelem5  39313  hoidmvle  39314  ovnhoilem2  39316  ovnlecvr2  39324  ovncvr2  39325  hoiqssbllem1  39336  hoiqssbllem2  39337  hoiqssbllem3  39338  hspmbllem2  39341  opnvonmbllem2  39347  ovolval2lem  39357  ovolval2  39358  ovolval3  39361  ovolval4lem2  39364  ovolval5lem3  39368  ovnovollem1  39370  ovnovollem2  39371  vonvolmbllem  39374  vonvolmbl2  39377  vonvol2  39378  snvonmbl  39401  vonsn  39406  iccpartxr  39782  nnsum4primeseven  40041  nnsum4primesevenALTV  40042  intop  41651  assintop  41657  isassintop  41658  ofaddmndmap  41937  rmsupp0  41965  domnmsuppn0  41966  rmsuppss  41967  mndpsuppss  41968  scmsuppss  41969  gsumlsscl  41980  lincfsuppcl  42018  linccl  42019  lcosn0  42025  lincdifsn  42029  lincsum  42034  lincscm  42035  lincscmcl  42037  islinindfis  42054  lincext1  42059  lincext2  42060  lincext3  42061  lindslinindimp2lem1  42063  lindslinindimp2lem2  42064  lindslinindimp2lem4  42066  lindslinindsimp2lem5  42067  snlindsntor  42076  lincresunitlem2  42081  lincresunit3lem1  42084  lincresunit3lem2  42085  lincresunit3  42086  lincreslvec3  42087  isldepslvec2  42090  zlmodzxzldeplem2  42106  zlmodzxzldeplem3  42107  ldepsnlinclem1  42110  ldepsnlinclem2  42111  aacllem  42339
  Copyright terms: Public domain W3C validator