Theorem nodenselem4 33191

Description: Lemma for nodense 33196. Show that a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodenselem4	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎

Proof of Theorem nodenselem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
2		simplr 767	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
3		sltso 33181	. . . . . . 7 ⊢ <s Or No
4		sonr 5496	. . . . . . 7 ⊢ (( <s Or No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
5	3, 4	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
6	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
7		breq2 5070	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
8	7	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
9	6, 8	syl5ibcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
10	9	necon2ad 3031	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵))
11	10	imp 409	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		nosepon 33172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)
13	1, 2, 11, 12	syl3anc 1367	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {crab 3142  ∩ cint 4876   class class class wbr 5066   Or wor 5473  Oncon0 6191  ‘cfv 6355   No csur 33147   <s cslt 33148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-1o 8102  df-2o 8103  df-no 33150  df-slt 33151

This theorem is referenced by:  nodenselem6  33193  nodense  33196