MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexsupp 7298
Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by AV, 27-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
rexsupp ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp
StepHypRef Expression
1 elsuppfn 7288 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
21anbi1d 740 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
3 anass 680 . . 3 (((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
42, 3syl6bb 276 . 2 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑))))
54rexbidv2 3044 1 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910   Fn wfn 5871  cfv 5876  (class class class)co 6635   supp csupp 7280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-supp 7281
This theorem is referenced by:  mdegldg  23807
  Copyright terms: Public domain W3C validator