Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfbas 21558
 Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas
StepHypRef Expression
1 trfbas2 21557 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))
2 elfvdm 6177 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3 ssexg 4764 . . . . . . 7 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
43ancoms 469 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
52, 4sylan 488 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6 elrest 16009 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
75, 6syldan 487 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
87notbid 308 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
9 nesym 2846 . . . . 5 ((𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
109ralbii 2974 . . . 4 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
11 ralnex 2986 . . . 4 (∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
1210, 11bitri 264 . . 3 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
138, 12syl6bbr 278 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
141, 13bitrd 268 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  Vcvv 3186   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↾t crest 16002  fBascfbas 19653 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-rest 16004  df-fbas 19662 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator