MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfbas 21841
Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas
StepHypRef Expression
1 trfbas2 21840 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))
2 elfvdm 6373 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3 ssexg 4948 . . . . . . 7 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
43ancoms 468 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
52, 4sylan 489 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6 elrest 16282 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
75, 6syldan 488 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
87notbid 307 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
9 nesym 2980 . . . . 5 ((𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
109ralbii 3110 . . . 4 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
11 ralnex 3122 . . . 4 (∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
1210, 11bitri 264 . . 3 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
138, 12syl6bbr 278 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
141, 13bitrd 268 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  Vcvv 3332  cin 3706  wss 3707  c0 4050  dom cdm 5258  cfv 6041  (class class class)co 6805  t crest 16275  fBascfbas 19928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-rest 16277  df-fbas 19937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator