MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfbas2 21566
Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))

Proof of Theorem trfbas2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6182 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
2 ssexg 4769 . . . . 5 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
32ancoms 469 . . . 4 ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
41, 3sylan 488 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5 restsspw 16020 . . . 4 (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
65a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
7 fbasne0 21553 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
87adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐹 ≠ ∅)
9 n0 3912 . . . . 5 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
108, 9sylib 208 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
11 elrestr 16017 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴))
12113expia 1264 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐹 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴)))
134, 12syldan 487 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐹 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴)))
14 ne0i 3902 . . . . . 6 ((𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴) → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅)
1513, 14syl6 35 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐹 → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅))
1615exlimdv 1858 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑥 𝑥𝐹 → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅))
1710, 16mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐹t 𝐴) ≠ ∅)
18 fbasssin 21559 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
19183expb 1263 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
2019adantlr 750 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))
21 simplll 797 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
224ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝐴 ∈ V)
23 simprl 793 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → 𝑥𝐹)
2421, 22, 23, 11syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴))
25 ssrin 3821 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ (𝑧𝑤) → (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
2625ad2antll 764 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
27 vex 3192 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2827inex1 4764 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) ∈ V
2928elpw 4141 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴) ⊆ ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
3026, 29sylibr 224 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
31 inelcm 4009 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴) ∈ (𝐹t 𝐴) ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3224, 30, 31syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) ∧ (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑧𝑤))) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3320, 32rexlimddv 3029 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑧𝐹𝑤𝐹)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
3433ralrimivva 2966 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑧𝐹𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅)
35 vex 3192 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
3635inex1 4764 . . . . . 6 (𝑧𝐴) ∈ V
3736a1i 11 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑧𝐴) ∈ V)
38 elrest 16016 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐹 𝑥 = (𝑧𝐴)))
394, 38syldan 487 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐹 𝑥 = (𝑧𝐴)))
40 vex 3192 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
4140inex1 4764 . . . . . . 7 (𝑤𝐴) ∈ V
4241a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) ∧ 𝑤𝐹) → (𝑤𝐴) ∈ V)
43 elrest 16016 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
444, 43syldan 487 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
4544adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) → (𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑤𝐹 𝑦 = (𝑤𝐴)))
46 ineq12 3792 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (𝑥𝑦) = ((𝑧𝐴) ∩ (𝑤𝐴)))
47 inindir 3814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴) = ((𝑧𝐴) ∩ (𝑤𝐴))
4846, 47syl6eqr 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (𝑥𝑦) = ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
4948pweqd 4140 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → 𝒫 (𝑥𝑦) = 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴))
5049ineq2d 3797 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) = ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)))
5150neeq1d 2849 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝑧𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5251adantll 749 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) ∧ 𝑦 = (𝑤𝐴)) → (((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5342, 45, 52ralxfr2d 4847 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑧𝐴)) → (∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5437, 39, 53ralxfr2d 4847 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐹𝑤𝐹 ((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 ((𝑧𝑤) ∩ 𝐴)) ≠ ∅))
5534, 54mpbird 247 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
56 isfbas 21552 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
5756baibd 947 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
58 3anan32 1048 . . . . 5 (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
5957, 58syl6bb 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ (((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ∧ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴))))
6059baibd 947 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ((𝐹t 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹t 𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐹t 𝐴)((𝐹t 𝐴) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
614, 6, 17, 55, 60syl22anc 1324 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∅ ∉ (𝐹t 𝐴)))
62 df-nel 2894 . 2 (∅ ∉ (𝐹t 𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴))
6361, 62syl6bb 276 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wnel 2893  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3189  cin 3558  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  t crest 16009  fBascfbas 19662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-rest 16011  df-fbas 19671
This theorem is referenced by:  trfbas  21567  uzfbas  21621  trcfilu  22017
  Copyright terms: Public domain W3C validator