MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustfilxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ustfilxp 22063
Description: A uniform structure on a nonempty base is a filter. Remark 3 of [BourbakiTop1] p. II.2. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ustfilxp ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))

Proof of Theorem ustfilxp
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6259 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2 isust 22054 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
43ibi 256 . . . . 5 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))))
54adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))))
65simp1d 1093 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
75simp2d 1094 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈)
8 ne0i 3954 . . . . 5 ((𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈𝑈 ≠ ∅)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ≠ ∅)
105simp3d 1095 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
1110r19.21bi 2961 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
1211simp3d 1095 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))
1312simp1d 1093 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣)
14 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 ∈ V
15 opelresi 5443 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ V → (⟨𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ 𝑤𝑋))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ 𝑤𝑋)
1716biimpri 218 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑋 → ⟨𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
1817rgen 2951 . . . . . . . . . 10 𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)
19 r19.2z 4093 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) → ∃𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
2018, 19mpan2 707 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
2120ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ∃𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
22 ne0i 3954 . . . . . . . . 9 (⟨𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
2322rexlimivw 3058 . . . . . . . 8 (∃𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
25 ssn0 4009 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣 ∧ ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑣 ≠ ∅)
2613, 24, 25syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣 ≠ ∅)
2726nelrdva 3450 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ¬ ∅ ∈ 𝑈)
28 df-nel 2927 . . . . 5 (∅ ∉ 𝑈 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑈)
2927, 28sylibr 224 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ∅ ∉ 𝑈)
3011simp2d 1094 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈)
3130r19.21bi 2961 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑣𝑤) ∈ 𝑈)
3214inex2 4833 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑤) ∈ V
3332pwid 4207 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑤) ∈ 𝒫 (𝑣𝑤)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑣𝑤) ∈ 𝒫 (𝑣𝑤))
3531, 34elind 3831 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑣𝑤) ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)))
36 ne0i 3954 . . . . . . 7 ((𝑣𝑤) ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) → (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
3837ralrimiva 2995 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
3938ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
409, 29, 393jca 1261 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → (𝑈 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅))
41 xpexg 7002 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
421, 1, 41syl2anc 694 . . . . 5 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
43 isfbas 21680 . . . . 5 ((𝑋 × 𝑋) ∈ V → (𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑈 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅))))
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑈 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅))))
4544adantl 481 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → (𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑈 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅))))
466, 40, 45mpbir2and 977 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
47 n0 3964 . . . . 5 ((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 𝑤))
48 elin 3829 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ↔ (𝑣𝑈𝑣 ∈ 𝒫 𝑤))
49 selpw 4198 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝒫 𝑤𝑣𝑤)
5049anbi2i 730 . . . . . . 7 ((𝑣𝑈𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ↔ (𝑣𝑈𝑣𝑤))
5148, 50bitri 264 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ↔ (𝑣𝑈𝑣𝑤))
5251exbii 1814 . . . . 5 (∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑈𝑣𝑤))
5347, 52bitri 264 . . . 4 ((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣(𝑣𝑈𝑣𝑤))
5411simp1d 1093 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈))
5554r19.21bi 2961 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → (𝑣𝑤𝑤𝑈))
5655an32s 863 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣𝑤𝑤𝑈))
5756expimpd 628 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑣𝑈𝑣𝑤) → 𝑤𝑈))
5857exlimdv 1901 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑣(𝑣𝑈𝑣𝑤) → 𝑤𝑈))
5953, 58syl5bi 232 . . 3 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ → 𝑤𝑈))
6059ralrimiva 2995 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ → 𝑤𝑈))
61 isfil 21698 . 2 (𝑈 ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ → 𝑤𝑈)))
6246, 60, 61sylanbrc 699 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  cop 4216   I cid 5052   × cxp 5141  ccnv 5142  cres 5145  ccom 5147  cfv 5926  fBascfbas 19782  Filcfil 21696  UnifOncust 22050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-fbas 19791  df-fil 21697  df-ust 22051
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator