Theorem wrdexgOLD 13873

Description: Obsolete proof of wrdexg 13872 as of 29-Apr-2023. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexgOLD	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexgOLD

Dummy variables 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 13865	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)))
2		mapsspw 8442	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆)
3		elfzoelz 13039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (0..^𝑙) → 𝑠 ∈ ℤ)
4	3	ssriv 3971	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑙) ⊆ ℤ
5		xpss1 5574	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝑙) ⊆ ℤ → ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆)
7		sspwb 5342	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆) ↔ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
8	6, 7	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
9	2, 8	sstri 3976	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
10	9	rgenw 3150	. . . 4 ⊢ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
11		iunss 4969	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
12	10, 11	mpbir 233	. . 3 ⊢ ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
13		zex 11991	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
14		xpexg 7473	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
15	13, 14	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
16	15	pwexd 5280	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
17		ssexg 5227	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∧ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
18	12, 16, 17	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
19	1, 18	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  ∪ ciun 4919   × cxp 5553  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  0cc0 10537  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ..^cfzo 13034  Word cword 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-map 8408  df-pm 8409  df-neg 10873  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-word 13863

This theorem is referenced by: (None)