Theorem xnegex 12602

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 12508	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 10698	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3513	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 10694	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 10884	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4515	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4515	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2909	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  ifcif 4467  +∞cpnf 10672  -∞cmnf 10673  ℝ^*cxr 10674  -cneg 10871  -_𝑒cxne 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-un 7461  ax-cnex 10593

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-uni 4839  df-iota 6314  df-fv 6363  df-ov 7159  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-neg 10873  df-xneg 12508

This theorem is referenced by:  xrhmeo  23550  supminfxrrnmpt  41767  monoord2xrv  41780  liminfvalxr  42084  liminfpnfuz  42117  xlimpnfxnegmnf2  42159