Theorem liminfpnfuz 42146

Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfpnfuz.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminfpnfuz.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfpnfuz.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfpnfuz	⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
2		nfcv 2977	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝐹
3		liminfpnfuz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		liminfpnfuz.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		liminfpnfuz.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfvaluz3 42126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))))
7		liminfpnfuz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8		nfcv 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
9	7, 8	nffv 6680	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
10	9	nfxneg 41786	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙)
11		nfcv 2977	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙-𝑒(𝐹‘𝑗)
12		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
13	12	xnegeqd 41760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹‘𝑙) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
14	10, 11, 13	cbvmpt 5167	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
15	14	fveq2i 6673	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)))
16	15	xnegeqi 41763	. . . 4 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))) = -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)))
17	6, 16	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))))
18	17	eqeq1d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = +∞))
19		xnegmnf 12604	. . . . . 6 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	19	eqcomi 2830	. . . . 5 ⊢ +∞ = -𝑒-∞
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ = -𝑒-∞)
22	21	eqeq2d 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-∞))
23	4	fvexi 6684	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
24	23	mptex 6986	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
26	25	limsupcld 42020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
27		mnfxr 10698	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28		xneg11 12609	. . . 4 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞))
29	26, 27, 28	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞))
30	22, 29	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞))
31	4	uztrn2 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
32		xnegex 12602	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V
33		fvmpt4 41557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
34	31, 32, 33	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
35	34	breq1d 5076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
36	35	ralbidva 3196	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
37	36	rexbiia 3246	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38	37	ralbii 3165	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39	38	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
40		nfmpt1 5164	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
41	5	ffvelrnda 6851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
42	41	xnegcld 12694	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
43	14	eqcomi 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))
44	42, 43	fmptd 6878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
45	40, 3, 4, 44	limsupmnfuz 42057	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
46	7, 4, 5	xlimpnfxnegmnf 42144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	39, 45, 46	3bitr4d 313	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
48	18, 30, 47	3bitrd 307	1 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2961  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  ℝcr 10536  +∞cpnf 10672  -∞cmnf 10673  ℝ^*cxr 10674   ≤ cle 10676  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  -_𝑒cxne 12505  lim supclsp 14827  lim infclsi 42081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-xneg 12508  df-ico 12745  df-fl 13163  df-ceil 13164  df-limsup 14828  df-liminf 42082

This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  42190  xlimpnfliminf2  42191