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Theorem monoord2xrv 40210
 Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2xrv.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord2xrv.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
monoord2xrv (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2xrv
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2xrv.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 monoord2xrv.x . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
32xnegcld 12321 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝑒(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))
53, 4fmptd 6546 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ*)
65ffvelrnda 6520 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ*)
7 monoord2xrv.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
87ralrimiva 3102 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
9 oveq1 6818 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + 1) = (𝑛 + 1))
109fveq2d 6354 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
11 fveq2 6350 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
1210, 11breq12d 4815 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛)))
1312cbvralv 3308 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
148, 13sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
1514r19.21bi 3068 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
16 fzp1elp1 12585 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
1716adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
18 eluzelz 11887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2019zcnd 11673 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
21 ax-1cn 10184 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
22 npcan 10480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2320, 21, 22sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2423oveq2d 6827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2524adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2617, 25eleqtrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
272ralrimiva 3102 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
2827adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
29 fveq2 6350 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
3029eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
3130rspcv 3443 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
3226, 28, 31sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
33 fzssp1 12575 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
3433, 24syl5sseq 3792 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3534sselda 3742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3611eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
3736rspcv 3443 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
3835, 28, 37sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*)
39 xleneg 12240 . . . . . . 7 (((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
4032, 38, 39syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
4115, 40mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4211xnegeqd 40160 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑛))
43 xnegex 12230 . . . . . . 7 -𝑒(𝐹𝑛) ∈ V
4442, 4, 43fvmpt 6442 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹𝑛))
4535, 44syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹𝑛))
4629xnegeqd 40160 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
47 xnegex 12230 . . . . . . 7 -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
4846, 4, 47fvmpt 6442 . . . . . 6 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4926, 48syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
5041, 45, 493brtr4d 4834 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)))
511, 6, 50monoordxrv 40208 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁))
52 eluzfz1 12539 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
531, 52syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
54 fveq2 6350 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
5554xnegeqd 40160 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑀))
56 xnegex 12230 . . . . 5 -𝑒(𝐹𝑀) ∈ V
5755, 4, 56fvmpt 6442 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹𝑀))
5853, 57syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹𝑀))
59 eluzfz2 12540 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
601, 59syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
61 fveq2 6350 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
6261xnegeqd 40160 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑁))
63 xnegex 12230 . . . . 5 -𝑒(𝐹𝑁) ∈ V
6462, 4, 63fvmpt 6442 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹𝑁))
6560, 64syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹𝑁))
6651, 58, 653brtr3d 4833 . 2 (𝜑 → -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁))
6761eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ*))
6867rspcv 3443 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑁) ∈ ℝ*))
6960, 27, 68sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ*)
7054eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
7170rspcv 3443 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
7253, 27, 71sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
73 xleneg 12240 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁)))
7469, 72, 73syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁)))
7566, 74mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ∀wral 3048   class class class wbr 4802   ↦ cmpt 4879  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℂcc 10124  1c1 10127   + caddc 10129  ℝ*cxr 10263   ≤ cle 10265   − cmin 10456  ℤcz 11567  ℤ≥cuz 11877  -𝑒cxne 12134  ...cfz 12517 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-xneg 12137  df-fz 12518 This theorem is referenced by:  monoord2xr  40211
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