Theorem merco1lem17 1739

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 1719. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
merco1lem17	⊢ (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜏) → ((𝜑 → 𝜒) → 𝜏))

Proof of Theorem merco1lem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco1lem11 1733	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑))
2		merco1lem7 1728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ⊥)) → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑))
3		merco1 1719	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ⊥)) → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑)) → (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑))))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)))
5		merco1lem9 1731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑))) → (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)
8		merco1 1719	. . . . 5 ⊢ (((((𝜒 → 𝜑) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → ((𝜑 → 𝜒) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → 𝜒) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒))
10		merco1lem11 1733	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)))
11		merco1lem7 1728	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → 𝜑) → ((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → ⊥)) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)))
12		merco1 1719	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → 𝜑) → ((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → ⊥)) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒))) → ((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → ((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)))))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → ((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))))
14		merco1lem9 1731	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → ((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)))) → ((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜒)) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))) → (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒))
17		merco1 1719	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (((𝜑 → 𝜒) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒)) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒))))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝜑 → 𝜒) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒)) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒)))
19	9, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒))
20		merco1lem4 1725	. . 3 ⊢ ((((𝜏 → 𝜑) → ((𝜑 → 𝜒) → ⊥)) → 𝜒) → (((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → 𝜒))
21		merco1lem16 1738	. . 3 ⊢ (((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → (𝜑 → 𝜒)) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒)) → ((((𝜑 → 𝜒) → ⊥) → 𝜒) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒)))
22	19, 20, 21	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((((𝜏 → 𝜑) → ((𝜑 → 𝜒) → ⊥)) → 𝜒) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒))
23		merco1 1719	. 2 ⊢ (((((𝜏 → 𝜑) → ((𝜑 → 𝜒) → ⊥)) → 𝜒) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒)) → (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜏) → ((𝜑 → 𝜒) → 𝜏)))
24	22, 23	ax-mp 5	1 ⊢ (((((𝜑 → 𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜏) → ((𝜑 → 𝜒) → 𝜏))

Syntax hints:   → wi 4  ⊥wfal 1553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-tru 1544  df-fal 1554

This theorem is referenced by:  merco1lem18  1740