Theorem merco1lem18 1737

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 1716. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
merco1lem18	⊢ ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))

Proof of Theorem merco1lem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco1 1716	. . . 4 ⊢ ((((((𝜓 → 𝜒) → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜑) → ⊥)) → ((𝜓 → 𝜒) → 𝜓)) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))))
2		merco1lem17 1736	. . . 4 ⊢ (((((((𝜓 → 𝜒) → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜑) → ⊥)) → ((𝜓 → 𝜒) → 𝜓)) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((((𝜓 → 𝜒) → 𝜓) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((𝜓 → 𝜒) → 𝜓) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))))
4		merco1lem17 1736	. . 3 ⊢ (((((𝜓 → 𝜒) → 𝜓) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))))
6		merco1lem5 1723	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥) → ⊥) → (((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥))
7		merco1lem3 1721	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥) → ⊥) → (((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥)) → (((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
9		merco1lem5 1723	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → (((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
11		merco1lem4 1722	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → (((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
13		merco1 1716	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → (𝜓 → 𝜑)) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))))))
14		merco1lem2 1720	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → (𝜓 → 𝜑)) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))))) → ((((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)) → ((((((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))))
17		merco1lem9 1728	. . 3 ⊢ ((((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))))) → (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))))
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝜓 → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒))))
19	5, 18	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝜑 → (𝜓 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜑) → (𝜓 → 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4  ⊥wfal 1551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-tru 1542  df-fal 1552

This theorem is referenced by:  retbwax1  1738