Theorem merco1lem11 1730

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 1716. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
merco1lem11	⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → 𝜓))

Proof of Theorem merco1lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco1lem5 1723	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥))
2		merco1lem3 1721	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥) → ⊥) → (((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥)) → (((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
4		merco1lem4 1722	. . . . 5 ⊢ ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
6		merco1lem5 1723	. . . 4 ⊢ (((((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
8		merco1lem4 1722	. . 3 ⊢ (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑 → 𝜏) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝜑 → 𝜏) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
10		merco1 1716	. . 3 ⊢ (((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → ((𝜑 → 𝜓) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → 𝜓)))
11		merco1lem2 1720	. . 3 ⊢ ((((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → ((𝜑 → 𝜓) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → 𝜓))) → (((𝜑 → 𝜏) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑 → 𝜓) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → 𝜓))))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝜑 → 𝜏) → ((((𝜓 → 𝜑) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑 → 𝜓) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → 𝜓)))
13	9, 12	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (((𝜒 → (𝜑 → 𝜏)) → ⊥) → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4  ⊥wfal 1551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-tru 1542  df-fal 1552

This theorem is referenced by:  merco1lem12  1731  merco1lem16  1735  merco1lem17  1736