Theorem eqncg 6127

Description: Equality of cardinalities. (Contributed by SF, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eqncg	|- (A e. V -> ( Nc A = Nc B <-> A ~~ B))

Proof of Theorem eqncg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncidg 6123	. . . . . . 7 |- (A e. V -> A e. Nc A)
2	1	adantr 451	. . . . . 6 |- ((A e. V /\ Nc A = Nc B) -> A e. Nc A)
3		eleq2 2414	. . . . . . 7 |- ( Nc A = Nc B -> (A e. Nc A <-> A e. Nc B))
4	3	adantl 452	. . . . . 6 |- ((A e. V /\ Nc A = Nc B) -> (A e. Nc A <-> A e. Nc B))
5	2, 4	mpbid 201	. . . . 5 |- ((A e. V /\ Nc A = Nc B) -> A e. Nc B)
6		df-nc 6102	. . . . 5 |- Nc B = [B] ~~
7	5, 6	syl6eleq 2443	. . . 4 |- ((A e. V /\ Nc A = Nc B) -> A e. [B] ~~ )
8		ecexr 5951	. . . 4 |- (A e. [B] ~~ -> B e. _V)
9	7, 8	syl 15	. . 3 |- ((A e. V /\ Nc A = Nc B) -> B e. _V)
10	9	ex 423	. 2 |- (A e. V -> ( Nc A = Nc B -> B e. _V))
11		brex 4690	. . . 4 |- (A ~~ B -> (A e. _V /\ B e. _V))
12	11	simprd 449	. . 3 |- (A ~~ B -> B e. _V)
13	12	a1i 10	. 2 |- (A e. V -> (A ~~ B -> B e. _V))
14		ener 6040	. . . . . 6 |- ~~ Er _V
15	14	a1i 10	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B e. _V) -> ~~ Er _V)
16		dmen 6042	. . . . . 6 |- dom ~~ = _V
17	16	a1i 10	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B e. _V) -> dom ~~ = _V)
18		elex 2868	. . . . . 6 |- (A e. V -> A e. _V)
19	18	adantr 451	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B e. _V) -> A e. _V)
20		simpr 447	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B e. _V) -> B e. _V)
21	15, 17, 19, 20	erth 5969	. . . 4 |- ((A e. V /\ B e. _V) -> (A ~~ B <-> [A] ~~ = [B] ~~ ))
22		df-nc 6102	. . . . 5 |- Nc A = [A] ~~
23	22, 6	eqeq12i 2366	. . . 4 |- ( Nc A = Nc B <-> [A] ~~ = [B] ~~ )
24	21, 23	syl6rbbr 255	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. _V) -> ( Nc A = Nc B <-> A ~~ B))
25	24	ex 423	. 2 |- (A e. V -> (B e. _V -> ( Nc A = Nc B <-> A ~~ B)))
26	10, 13, 25	pm5.21ndd 343	1 |- (A e. V -> ( Nc A = Nc B <-> A ~~ B))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   class class class wbr 4640  dom cdm 4773   Er cer 5899  [cec 5946   ~~ cen 6029   Nc cnc 6092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-en 6030  df-nc 6102

This theorem is referenced by:  eqnc  6128  ncpw1pwneg  6202  canncb  6333