Theorem eqrelk 4213

Description: Equality for two Kuratowski relationships. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eqrelk	⊢ ((A ⊆ (V ×k V) ∧ B ⊆ (V ×k V)) → (A = B ↔ ∀x∀y(⟪x, y⟫ ∈ A ↔ ⟪x, y⟫ ∈ B)))

Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem eqrelk

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssofeq 4078	. 2 ⊢ ((A ⊆ (V ×k V) ∧ B ⊆ (V ×k V)) → (A = B ↔ ∀z ∈ (V ×k V)(z ∈ A ↔ z ∈ B)))
2		df-ral 2620	. . 3 ⊢ (∀z ∈ (V ×k V)(z ∈ A ↔ z ∈ B) ↔ ∀z(z ∈ (V ×k V) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
3		elvvk 4208	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ (V ×k V) ↔ ∃x∃y z = ⟪x, y⟫)
4	3	imbi1i 315	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ (V ×k V) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ (∃x∃y z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
5		19.23vv 1892	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀y(z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ (∃x∃y z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
6	4, 5	bitr4i 243	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ (V ×k V) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀x∀y(z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
7	6	albii 1566	. . . 4 ⊢ (∀z(z ∈ (V ×k V) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀z∀x∀y(z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
8		alrot3 1738	. . . 4 ⊢ (∀z∀x∀y(z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀x∀y∀z(z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
9	7, 8	bitri 240	. . 3 ⊢ (∀z(z ∈ (V ×k V) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀x∀y∀z(z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
10		opkex 4114	. . . . 5 ⊢ ⟪x, y⟫ ∈ V
11		eleq1 2413	. . . . . 6 ⊢ (z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ ⟪x, y⟫ ∈ A))
12		eleq1 2413	. . . . . 6 ⊢ (z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ B ↔ ⟪x, y⟫ ∈ B))
13	11, 12	bibi12d 312	. . . . 5 ⊢ (z = ⟪x, y⟫ → ((z ∈ A ↔ z ∈ B) ↔ (⟪x, y⟫ ∈ A ↔ ⟪x, y⟫ ∈ B)))
14	10, 13	ceqsalv 2886	. . . 4 ⊢ (∀z(z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ (⟪x, y⟫ ∈ A ↔ ⟪x, y⟫ ∈ B))
15	14	2albii 1567	. . 3 ⊢ (∀x∀y∀z(z = ⟪x, y⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀x∀y(⟪x, y⟫ ∈ A ↔ ⟪x, y⟫ ∈ B))
16	2, 9, 15	3bitri 262	. 2 ⊢ (∀z ∈ (V ×k V)(z ∈ A ↔ z ∈ B) ↔ ∀x∀y(⟪x, y⟫ ∈ A ↔ ⟪x, y⟫ ∈ B))
17	1, 16	syl6bb 252	1 ⊢ ((A ⊆ (V ×k V) ∧ B ⊆ (V ×k V)) → (A = B ↔ ∀x∀y(⟪x, y⟫ ∈ A ↔ ⟪x, y⟫ ∈ B)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2615  Vcvv 2860   ⊆ wss 3258  ⟪copk 4058   ×_k cxpk 4175

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186

This theorem is used by:  eqrelkriiv  4214  eqrelkrdv  4215  cnvkexg  4287  ssetkex  4295