Theorem cnvkexg 4287

Description: The Kuratowski converse of a set is a set. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvkexg	|- (A e. V -> `'kA e. _V)

Proof of Theorem cnvkexg

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvkeq 4216	. . 3 |- (x = A -> `'kx = `'kA)
2	1	eleq1d 2419	. 2 |- (x = A -> (`'kx e. _V <-> `'kA e. _V))
3		ax-cnv 4081	. . 3 |- E.yA.zA.w(<<z, w>> e. y <-> <<w, z>> e. x)
4		inss1 3476	. . . . . . . 8 |- ((_V X.k _V) i^i y) C_ (_V X.k _V)
5		cnvkssvvk 4276	. . . . . . . 8 |- `'kx C_ (_V X.k _V)
6		eqrelk 4213	. . . . . . . 8 |- ((((_V X.k _V) i^i y) C_ (_V X.k _V) /\ `'kx C_ (_V X.k _V)) -> (((_V X.k _V) i^i y) = `'kx <-> A.zA.w(<<z, w>> e. ((_V X.k _V) i^i y) <-> <<z, w>> e. `'kx)))
7	4, 5, 6	mp2an 653	. . . . . . 7 |- (((_V X.k _V) i^i y) = `'kx <-> A.zA.w(<<z, w>> e. ((_V X.k _V) i^i y) <-> <<z, w>> e. `'kx))
8		vex 2863	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
9		vex 2863	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
10	8, 9	opkelxpk 4249	. . . . . . . . . . 11 |- (<<z, w>> e. (_V X.k _V) <-> (z e. _V /\ w e. _V))
11	8, 9, 10	mpbir2an 886	. . . . . . . . . 10 |- <<z, w>> e. (_V X.k _V)
12		elin 3220	. . . . . . . . . 10 |- (<<z, w>> e. ((_V X.k _V) i^i y) <-> (<<z, w>> e. (_V X.k _V) /\ <<z, w>> e. y))
13	11, 12	mpbiran 884	. . . . . . . . 9 |- (<<z, w>> e. ((_V X.k _V) i^i y) <-> <<z, w>> e. y)
14	8, 9	opkelcnvk 4251	. . . . . . . . 9 |- (<<z, w>> e. `'kx <-> <<w, z>> e. x)
15	13, 14	bibi12i 306	. . . . . . . 8 |- ((<<z, w>> e. ((_V X.k _V) i^i y) <-> <<z, w>> e. `'kx) <-> (<<z, w>> e. y <-> <<w, z>> e. x))
16	15	2albii 1567	. . . . . . 7 |- (A.zA.w(<<z, w>> e. ((_V X.k _V) i^i y) <-> <<z, w>> e. `'kx) <-> A.zA.w(<<z, w>> e. y <-> <<w, z>> e. x))
17	7, 16	bitri 240	. . . . . 6 |- (((_V X.k _V) i^i y) = `'kx <-> A.zA.w(<<z, w>> e. y <-> <<w, z>> e. x))
18	17	biimpri 197	. . . . 5 |- (A.zA.w(<<z, w>> e. y <-> <<w, z>> e. x) -> ((_V X.k _V) i^i y) = `'kx)
19		vvex 4110	. . . . . . 7 |- _V e. _V
20		xpkvexg 4286	. . . . . . 7 |- (_V e. _V -> (_V X.k _V) e. _V)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (_V X.k _V) e. _V
22		vex 2863	. . . . . 6 |- y e. _V
23	21, 22	inex 4106	. . . . 5 |- ((_V X.k _V) i^i y) e. _V
24	18, 23	syl6eqelr 2442	. . . 4 |- (A.zA.w(<<z, w>> e. y <-> <<w, z>> e. x) -> `'kx e. _V)
25	24	exlimiv 1634	. . 3 |- (E.yA.zA.w(<<z, w>> e. y <-> <<w, z>> e. x) -> `'kx e. _V)
26	3, 25	ax-mp 5	. 2 |- `'kx e. _V
27	2, 26	vtoclg 2915	1 |- (A e. V -> `'kA e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   i^i cin 3209   C_ wss 3258  <<copk 4058   X._k cxpk 4175  `'_kccnvk 4176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186  df-cnvk 4187

This theorem is referenced by:  cnvkex  4288  xpkexg  4289  cokexg  4310  imagekexg  4312