Theorem fvsnun1 5448

Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at the replaced ordered pair. See also fvsnun2 5449. (Contributed by set.mm contributors, 23-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsnun.1	|- A e. _V
fvsnun.2	|- B e. _V
fvsnun.3	|- G = ({<.A, B>.} u. (F |` (C \ {A})))

Assertion

Ref	Expression
fvsnun1	|- (G` A) = B

Proof of Theorem fvsnun1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsnun.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	snid 3761	. . 3 |- A e. {A}
3		fvres 5343	. . 3 |- (A e. {A} -> ((G |` {A})` A) = (G` A))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ((G |` {A})` A) = (G` A)
5		fvsnun.3	. . . . . 6 |- G = ({<.A, B>.} u. (F |` (C \ {A})))
6	5	reseq1i 4931	. . . . 5 |- (G |` {A}) = (({<.A, B>.} u. (F |` (C \ {A}))) |` {A})
7		resundir 4983	. . . . 5 |- (({<.A, B>.} u. (F |` (C \ {A}))) |` {A}) = (({<.A, B>.} |` {A}) u. ((F |` (C \ {A})) |` {A}))
8		incom 3449	. . . . . . . . 9 |- ((C \ {A}) i^i {A}) = ({A} i^i (C \ {A}))
9		disjdif 3623	. . . . . . . . 9 |- ({A} i^i (C \ {A})) = (/)
10	8, 9	eqtri 2373	. . . . . . . 8 |- ((C \ {A}) i^i {A}) = (/)
11		resdisj 5051	. . . . . . . 8 |- (((C \ {A}) i^i {A}) = (/) -> ((F |` (C \ {A})) |` {A}) = (/))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ((F |` (C \ {A})) |` {A}) = (/)
13	12	uneq2i 3416	. . . . . 6 |- (({<.A, B>.} |` {A}) u. ((F |` (C \ {A})) |` {A})) = (({<.A, B>.} |` {A}) u. (/))
14		un0 3576	. . . . . 6 |- (({<.A, B>.} |` {A}) u. (/)) = ({<.A, B>.} |` {A})
15	13, 14	eqtri 2373	. . . . 5 |- (({<.A, B>.} |` {A}) u. ((F |` (C \ {A})) |` {A})) = ({<.A, B>.} |` {A})
16	6, 7, 15	3eqtri 2377	. . . 4 |- (G |` {A}) = ({<.A, B>.} |` {A})
17	16	fveq1i 5330	. . 3 |- ((G |` {A})` A) = (({<.A, B>.} |` {A})` A)
18		fvres 5343	. . . 4 |- (A e. {A} -> (({<.A, B>.} |` {A})` A) = ({<.A, B>.}` A))
19	2, 18	ax-mp 5	. . 3 |- (({<.A, B>.} |` {A})` A) = ({<.A, B>.}` A)
20		fvsnun.2	. . . 4 |- B e. _V
21	1, 20	fvsn 5446	. . 3 |- ({<.A, B>.}` A) = B
22	17, 19, 21	3eqtri 2377	. 2 |- ((G |` {A})` A) = B
23	4, 22	eqtr3i 2375	1 |- (G` A) = B

Syntax hints:   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   \ cdif 3207   u. cun 3208   i^i cin 3209  (/)c0 3551  {csn 3738  <.cop 4562   |` cres 4775  ` cfv 4782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fv 4796

This theorem is referenced by: (None)