Theorem ins3kexg 4307

Description: Ins3_k preserves sethood. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ins3kexg	|- (A e. V -> Ins3k A e. _V)

Proof of Theorem ins3kexg

Dummy variables x y z w t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ins3keq 4220	. . 3 |- (x = A -> Ins3k x = Ins3k A)
2	1	eleq1d 2419	. 2 |- (x = A -> ( Ins3k x e. _V <-> Ins3k A e. _V))
3		ax-ins3 4086	. . 3 |- E.yA.zA.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. y <-> <<z, w>> e. x)
4		inss1 3476	. . . . . . . 8 |- ((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) C_ (~P1 1c X.k (_V X.k _V))
5		ins3kss 4281	. . . . . . . 8 |- Ins3k x C_ (~P1 1c X.k (_V X.k _V))
6	4, 5	insklem 4305	. . . . . . 7 |- (((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) = Ins3k x <-> A.zA.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. ((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) <-> <<{{z}}, <<w, t>>>> e. Ins3k x))
7		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
8	7	snel1c 4141	. . . . . . . . . . . . 13 |- {z} e. 1c
9		snelpw1 4147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ({{z}} e. ~P1 1c <-> {z} e. 1c)
10	8, 9	mpbir 200	. . . . . . . . . . . 12 |- {{z}} e. ~P1 1c
11		vex 2863	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
12		vex 2863	. . . . . . . . . . . . 13 |- t e. _V
13	11, 12	opkelxpk 4249	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<<w, t>> e. (_V X.k _V) <-> (w e. _V /\ t e. _V))
14	11, 12, 13	mpbir2an 886	. . . . . . . . . . . 12 |- <<w, t>> e. (_V X.k _V)
15		snex 4112	. . . . . . . . . . . . 13 |- {{z}} e. _V
16		opkex 4114	. . . . . . . . . . . . 13 |- <<w, t>> e. _V
17	15, 16	opkelxpk 4249	. . . . . . . . . . . 12 |- (<<{{z}}, <<w, t>>>> e. (~P1 1c X.k (_V X.k _V)) <-> ({{z}} e. ~P1 1c /\ <<w, t>> e. (_V X.k _V)))
18	10, 14, 17	mpbir2an 886	. . . . . . . . . . 11 |- <<{{z}}, <<w, t>>>> e. (~P1 1c X.k (_V X.k _V))
19		elin 3220	. . . . . . . . . . 11 |- (<<{{z}}, <<w, t>>>> e. ((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) <-> (<<{{z}}, <<w, t>>>> e. (~P1 1c X.k (_V X.k _V)) /\ <<{{z}}, <<w, t>>>> e. y))
20	18, 19	mpbiran 884	. . . . . . . . . 10 |- (<<{{z}}, <<w, t>>>> e. ((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) <-> <<{{z}}, <<w, t>>>> e. y)
21	7, 11, 12	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . 10 |- (<<{{z}}, <<w, t>>>> e. Ins3k x <-> <<z, w>> e. x)
22	20, 21	bibi12i 306	. . . . . . . . 9 |- ((<<{{z}}, <<w, t>>>> e. ((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) <-> <<{{z}}, <<w, t>>>> e. Ins3k x) <-> (<<{{z}}, <<w, t>>>> e. y <-> <<z, w>> e. x))
23	22	2albii 1567	. . . . . . . 8 |- (A.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. ((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) <-> <<{{z}}, <<w, t>>>> e. Ins3k x) <-> A.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. y <-> <<z, w>> e. x))
24	23	albii 1566	. . . . . . 7 |- (A.zA.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. ((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) <-> <<{{z}}, <<w, t>>>> e. Ins3k x) <-> A.zA.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. y <-> <<z, w>> e. x))
25	6, 24	bitri 240	. . . . . 6 |- (((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) = Ins3k x <-> A.zA.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. y <-> <<z, w>> e. x))
26	25	biimpri 197	. . . . 5 |- (A.zA.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. y <-> <<z, w>> e. x) -> ((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) = Ins3k x)
27		1cex 4143	. . . . . . . 8 |- 1c e. _V
28	27	pw1ex 4304	. . . . . . 7 |- ~P1 1c e. _V
29		vvex 4110	. . . . . . . 8 |- _V e. _V
30	29, 29	xpkex 4290	. . . . . . 7 |- (_V X.k _V) e. _V
31	28, 30	xpkex 4290	. . . . . 6 |- (~P1 1c X.k (_V X.k _V)) e. _V
32		vex 2863	. . . . . 6 |- y e. _V
33	31, 32	inex 4106	. . . . 5 |- ((~P1 1c X.k (_V X.k _V)) i^i y) e. _V
34	26, 33	syl6eqelr 2442	. . . 4 |- (A.zA.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. y <-> <<z, w>> e. x) -> Ins3k x e. _V)
35	34	exlimiv 1634	. . 3 |- (E.yA.zA.wA.t(<<{{z}}, <<w, t>>>> e. y <-> <<z, w>> e. x) -> Ins3k x e. _V)
36	3, 35	ax-mp 5	. 2 |- Ins3k x e. _V
37	2, 36	vtoclg 2915	1 |- (A e. V -> Ins3k A e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   i^i cin 3209  {csn 3738  <<copk 4058  1_cc1c 4135  ~P₁ cpw1 4136   X._k cxpk 4175   Ins3_k cins3k 4178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-si 4084  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193

This theorem is referenced by:  ins3kex  4309  cokexg  4310  imagekexg  4312