Theorem iuncom4 3976

Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom4	⊢ ∪x ∈ A ∪B = ∪∪x ∈ A B

Proof of Theorem iuncom4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2620	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃z(z ∈ B ∧ y ∈ z))
2	1	rexbii 2639	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃x ∈ A ∃z(z ∈ B ∧ y ∈ z))
3		rexcom4 2878	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A ∃z(z ∈ B ∧ y ∈ z) ↔ ∃z∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z))
4	2, 3	bitri 240	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃z∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z))
5		r19.41v 2764	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z) ↔ (∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
6	5	exbii 1582	. . . . 5 ⊢ (∃z∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z) ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
7	4, 6	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
8		eluni2 3895	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ∪B ↔ ∃z ∈ B y ∈ z)
9	8	rexbii 2639	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ ∪B ↔ ∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z)
10		df-rex 2620	. . . . 5 ⊢ (∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z ↔ ∃z(z ∈ ∪x ∈ A B ∧ y ∈ z))
11		eliun 3973	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ∪x ∈ A B ↔ ∃x ∈ A z ∈ B)
12	11	anbi1i 676	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ∪x ∈ A B ∧ y ∈ z) ↔ (∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
13	12	exbii 1582	. . . . 5 ⊢ (∃z(z ∈ ∪x ∈ A B ∧ y ∈ z) ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
14	10, 13	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
15	7, 9, 14	3bitr4i 268	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ ∪B ↔ ∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z)
16		eliun 3973	. . 3 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A ∪B ↔ ∃x ∈ A y ∈ ∪B)
17		eluni2 3895	. . 3 ⊢ (y ∈ ∪∪x ∈ A B ↔ ∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z)
18	15, 16, 17	3bitr4i 268	. 2 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A ∪B ↔ y ∈ ∪∪x ∈ A B)
19	18	eqriv 2350	1 ⊢ ∪x ∈ A ∪B = ∪∪x ∈ A B

Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  ∪cuni 3891  ∪ciun 3969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-uni 3892  df-iun 3971

This theorem is referenced by: (None)