Theorem p6exg 4291

Description: The P6 operator applied to a set yields a set. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
p6exg	|- (A e. V -> P6 A e. _V)

Proof of Theorem p6exg

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p6eq 4239	. . 3 |- (x = A -> P6 x = P6 A)
2	1	eleq1d 2419	. 2 |- (x = A -> ( P6 x e. _V <-> P6 A e. _V))
3		ax-typlower 4087	. . 3 |- E.yA.z(z e. y <-> A.w<<w, {z}>> e. x)
4		dfcleq 2347	. . . . . . 7 |- (y = P6 x <-> A.z(z e. y <-> z e. P6 x))
5		vex 2863	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
6		elp6 4264	. . . . . . . . . 10 |- (z e. _V -> (z e. P6 x <-> A.w<<w, {z}>> e. x))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (z e. P6 x <-> A.w<<w, {z}>> e. x)
8	7	bibi2i 304	. . . . . . . 8 |- ((z e. y <-> z e. P6 x) <-> (z e. y <-> A.w<<w, {z}>> e. x))
9	8	albii 1566	. . . . . . 7 |- (A.z(z e. y <-> z e. P6 x) <-> A.z(z e. y <-> A.w<<w, {z}>> e. x))
10	4, 9	bitri 240	. . . . . 6 |- (y = P6 x <-> A.z(z e. y <-> A.w<<w, {z}>> e. x))
11	10	biimpri 197	. . . . 5 |- (A.z(z e. y <-> A.w<<w, {z}>> e. x) -> y = P6 x)
12		vex 2863	. . . . 5 |- y e. _V
13	11, 12	syl6eqelr 2442	. . . 4 |- (A.z(z e. y <-> A.w<<w, {z}>> e. x) -> P6 x e. _V)
14	13	exlimiv 1634	. . 3 |- (E.yA.z(z e. y <-> A.w<<w, {z}>> e. x) -> P6 x e. _V)
15	3, 14	ax-mp 5	. 2 |- P6 x e. _V
16	2, 15	vtoclg 2915	1 |- (A e. V -> P6 A e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860  {csn 3738  <<copk 4058   P6 cp6 4179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186  df-p6 4192

This theorem is referenced by:  uni1exg  4293  imakexg  4300