NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  peano4 Unicode version

Theorem peano4 4557
Description: The successor operation is one-to-one over the finite cardinals. Theorem X.1.66 of [Rosser] p. 537. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
peano4 Nn Nn 1c 1c

Proof of Theorem peano4
StepHypRef Expression
1 3simpa 952 . 2 Nn Nn 1c 1c Nn Nn
2 simp3 957 . 2 Nn Nn 1c 1c 1c 1c
3 peano2 4403 . . . 4 Nn 1c Nn
4 nulnnn 4556 . . . . . 6 Nn
5 eleq1 2413 . . . . . 6 1c 1c Nn Nn
64, 5mtbiri 294 . . . . 5 1c 1c Nn
76necon2ai 2561 . . . 4 1c Nn 1c
83, 7syl 15 . . 3 Nn 1c
983ad2ant1 976 . 2 Nn Nn 1c 1c 1c
10 prepeano4 4451 . 2 Nn Nn 1c 1c 1c
111, 2, 9, 10syl12anc 1180 1 Nn Nn 1c 1c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  c0 3550  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   cplc 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447
This theorem is referenced by:  suc11nnc  4558  phi11lem1  4595  fnfreclem3  6319
  Copyright terms: Public domain W3C validator