New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  fnfreclem3 Unicode version

Theorem fnfreclem3 6319
 Description: Lemma for fnfrec 6320. The value of at a successor is related to a previous element. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fnfreclem2.1 FRec
fnfreclem2.2
fnfreclem2.3
fnfreclem2.4
fnfreclem3.5 Nn
fnfreclem3.6 1c
Assertion
Ref Expression
fnfreclem3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fnfreclem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cex 4392 . . . . 5 0c
2 fnfreclem2.3 . . . . 5
3 opexg 4587 . . . . 5 0c 0c
41, 2, 3sylancr 644 . . . 4 0c
5 elsnc2g 3761 . . . 4 0c 1c 0c 1c 0c
64, 5syl 15 . . 3 1c 0c 1c 0c
7 opth 4602 . . . . 5 1c 0c 1c 0c
87simplbi 446 . . . 4 1c 0c 1c 0c
9 0cnsuc 4401 . . . . . . 7 1c 0c
10 df-ne 2518 . . . . . . 7 1c 0c 1c 0c
119, 10mpbi 199 . . . . . 6 1c 0c
1211pm2.21i 123 . . . . 5 1c 0c
1312a1i 10 . . . 4 1c 0c
148, 13syl5 28 . . 3 1c 0c
156, 14sylbid 206 . 2 1c 0c
16 vex 2862 . . . . . . 7
17 opeqex 4621 . . . . . . 7
1816, 17ax-mp 8 . . . . . 6
19 excom 1741 . . . . . 6
2018, 19mpbi 199 . . . . 5
21 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . 12
22 df-br 4640 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl6bbr 254 . . . . . . . . . . 11
2423anbi2d 684 . . . . . . . . . 10
25 breq1 4642 . . . . . . . . . . 11 PProd 1c 1c PProd 1c 1c
26 qrpprod 5836 . . . . . . . . . . . 12 PProd 1c 1c 1c 1c
27 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1c 1c
29 eqid 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1c 1c
30 1cex 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1c
3127, 30addcex 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1c
3228, 29, 31fvmpt 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c 1c
3327, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15 1c 1c
3433eqeq1i 2360 . . . . . . . . . . . . . 14 1c 1c 1c 1c
3529fnmpt 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c 1c
36 addcexg 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1c 1c
3730, 36mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c
3835, 37mprg 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 1c
39 fnbrfvb 5358 . . . . . . . . . . . . . . 15 1c 1c 1c 1c 1c
4038, 27, 39mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14 1c 1c 1c 1c
4134, 40bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c 1c 1c
4241anbi1i 676 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c 1c 1c
4326, 42bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11 PProd 1c 1c 1c 1c
4425, 43syl6bb 252 . . . . . . . . . 10 PProd 1c 1c 1c 1c
4524, 44anbi12d 691 . . . . . . . . 9 PProd 1c 1c 1c 1c
46 breldm 4911 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14
48 fnfreclem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 FRec
49 fnfreclem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 fnfreclem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5148, 49, 2, 50dmfrec 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn
5347, 52eleqtrd 2429 . . . . . . . . . . . . 13 Nn
54 fnfreclem3.5 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 Nn
56 peano4 4557 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn 1c 1c
57563expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn 1c 1c
5853, 55, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c
59 breq1 4642 . . . . . . . . . . . . . 14
6059biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . 13
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
6258, 61syld 40 . . . . . . . . . . 11 1c 1c
6362anim1d 547 . . . . . . . . . 10 1c 1c
6463imp 418 . . . . . . . . 9 1c 1c
6545, 64syl6bi 219 . . . . . . . 8 PProd 1c 1c
6665com12 27 . . . . . . 7 PProd 1c 1c
6766exlimdv 1636 . . . . . 6 PProd 1c 1c
6867eximdv 1622 . . . . 5 PProd 1c 1c
6920, 68mpi 16 . . . 4 PProd 1c 1c
7069ex 423 . . 3 PProd 1c 1c
7170rexlimdva 2738 . 2 PProd 1c 1c
72 fnfreclem3.6 . . 3 1c
73 df-br 4640 . . . 4 1c 1c
74 snex 4111 . . . . 5 0c
75 csucex 6259 . . . . . 6 1c
76 pprodexg 5837 . . . . . 6 1c PProd 1c
7775, 49, 76sylancr 644 . . . . 5 PProd 1c
78 df-frec 6310 . . . . . . 7 FRec Clos1 0c PProd 1c
7948, 78eqtri 2373 . . . . . 6 Clos1 0c PProd 1c
8079clos1basesucg 5884 . . . . 5 0c PProd 1c 1c 1c 0c PProd 1c 1c
8174, 77, 80sylancr 644 . . . 4 1c 1c 0c PProd 1c 1c
8273, 81syl5bb 248 . . 3 1c 1c 0c PProd 1c 1c
8372, 82mpbid 201 . 2 1c 0c PProd 1c 1c
8415, 71, 83mpjaod 370 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  cvv 2859   wss 3257  csn 3737  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375  cop 4561   class class class wbr 4639   cdm 4772   crn 4773   wfn 4776  cfv 4781   cmpt 5651   PProd cpprod 5737   Clos1 cclos1 5872   FRec cfrec 6309 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-pprod 5738  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-clos1 5873  df-frec 6310 This theorem is referenced by:  fnfrec  6320
 Copyright terms: Public domain W3C validator