Theorem peano4 4557

Description: The successor operation is one-to-one over the finite cardinals. Theorem X.1.66 of [Rosser] p. 537. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
peano4	⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ (M +c 1c) = (N +c 1c)) → M = N)

Proof of Theorem peano4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 952	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ (M +c 1c) = (N +c 1c)) → (M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ))
2		simp3 957	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ (M +c 1c) = (N +c 1c)) → (M +c 1c) = (N +c 1c))
3		peano2 4403	. . . 4 ⊢ (M ∈ Nn → (M +c 1c) ∈ Nn )
4		nulnnn 4556	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ Nn
5		eleq1 2413	. . . . . 6 ⊢ ((M +c 1c) = ∅ → ((M +c 1c) ∈ Nn ↔ ∅ ∈ Nn ))
6	4, 5	mtbiri 294	. . . . 5 ⊢ ((M +c 1c) = ∅ → ¬ (M +c 1c) ∈ Nn )
7	6	necon2ai 2561	. . . 4 ⊢ ((M +c 1c) ∈ Nn → (M +c 1c) ≠ ∅)
8	3, 7	syl 15	. . 3 ⊢ (M ∈ Nn → (M +c 1c) ≠ ∅)
9	8	3ad2ant1 976	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ (M +c 1c) = (N +c 1c)) → (M +c 1c) ≠ ∅)
10		prepeano4 4451	. 2 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ ((M +c 1c) = (N +c 1c) ∧ (M +c 1c) ≠ ∅)) → M = N)
11	1, 2, 9, 10	syl12anc 1180	1 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ (M +c 1c) = (N +c 1c)) → M = N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∅c0 3550  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +_c cplc 4375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447

This theorem is referenced by:  suc11nnc  4558  phi11lem1  4595  fnfreclem3  6319