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Theorem phiall 4618
 Description: Any set is equal to either the Phi of another set or to a Phi with 0c adjoined. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
phiall.1
Assertion
Ref Expression
phiall Phi Phi 0c
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem phiall
StepHypRef Expression
1 neldifsn 3841 . . . . 5 0c 0c
2 phiall.1 . . . . . . 7
3 snex 4111 . . . . . . 7 0c
42, 3difex 4107 . . . . . 6 0c
54phialllem2 4617 . . . . 5 0c 0c 0c Phi
61, 5ax-mp 8 . . . 4 0c Phi
7 disjsn 3786 . . . . . . . . . 10 0c 0c 0c 0c
81, 7mpbir 200 . . . . . . . . 9 0c 0c
9 0cnelphi 4597 . . . . . . . . . 10 0c Phi
10 disjsn 3786 . . . . . . . . . 10 Phi 0c 0c Phi
119, 10mpbir 200 . . . . . . . . 9 Phi 0c
128, 11eqtr4i 2376 . . . . . . . 8 0c 0c Phi 0c
1312biantru 491 . . . . . . 7 0c 0c Phi 0c 0c 0c Phi 0c 0c 0c Phi 0c
14 unineq 3505 . . . . . . 7 0c 0c Phi 0c 0c 0c Phi 0c 0c Phi
1513, 14bitri 240 . . . . . 6 0c 0c Phi 0c 0c Phi
16 difsnid 3854 . . . . . . 7 0c 0c 0c
1716eqeq1d 2361 . . . . . 6 0c 0c 0c Phi 0c Phi 0c
1815, 17syl5bbr 250 . . . . 5 0c 0c Phi Phi 0c
1918exbidv 1626 . . . 4 0c 0c Phi Phi 0c
206, 19mpbii 202 . . 3 0c Phi 0c
21 olc 373 . . . 4 Phi 0c Phi Phi 0c
2221eximi 1576 . . 3 Phi 0c Phi Phi 0c
2320, 22syl 15 . 2 0c Phi Phi 0c
242phialllem2 4617 . . 3 0c Phi
25 orc 374 . . . 4 Phi Phi Phi 0c
2625eximi 1576 . . 3 Phi Phi Phi 0c
2724, 26syl 15 . 2 0c Phi Phi 0c
2823, 27pm2.61i 156 1 Phi Phi 0c
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wo 357   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cvv 2859   cdif 3206   cun 3207   cin 3208  c0 3550  csn 3737  0cc0c 4374   Phi cphi 4562 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565 This theorem is referenced by:  opeq  4619
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