New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  phialllem2 Unicode version

Theorem phialllem2 4617
 Description: Lemma for phiall 4618. Any set without 0c is equal to the Phi of a set. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
phiall.1
Assertion
Ref Expression
phialllem2 0c Phi
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem phialllem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3476 . . 3 Nn Nn
2 inss1 3475 . . . . 5 Nn
32sseli 3269 . . . 4 0c Nn 0c
43con3i 127 . . 3 0c 0c Nn
5 phiall.1 . . . . 5
6 nncex 4396 . . . . 5 Nn
75, 6inex 4105 . . . 4 Nn
87phialllem1 4616 . . 3 Nn Nn 0c Nn Nn Phi
91, 4, 8sylancr 644 . 2 0c Nn Phi
10 uncom 3408 . . . . . . 7 Nn Nn Nn Nn
11 inundif 3628 . . . . . . 7 Nn Nn
1210, 11eqtri 2373 . . . . . 6 Nn Nn
13 uneq2 3412 . . . . . 6 Nn Phi Nn Nn Nn Phi
1412, 13syl5eqr 2399 . . . . 5 Nn Phi Nn Phi
15 phiun 4614 . . . . . 6 Phi Nn Phi Nn Phi
16 incom 3448 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn Nn
17 disjdif 3622 . . . . . . . . 9 Nn Nn
1816, 17eqtri 2373 . . . . . . . 8 Nn Nn
19 phidisjnn 4615 . . . . . . . 8 Nn Nn Phi Nn Nn
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 Phi Nn Nn
2120uneq1i 3414 . . . . . 6 Phi Nn Phi Nn Phi
2215, 21eqtri 2373 . . . . 5 Phi Nn Nn Phi
2314, 22syl6eqr 2403 . . . 4 Nn Phi Phi Nn
245, 6difex 4107 . . . . . 6 Nn
25 vex 2862 . . . . . 6
2624, 25unex 4106 . . . . 5 Nn
27 phieq 4570 . . . . . 6 Nn Phi Phi Nn
2827eqeq2d 2364 . . . . 5 Nn Phi Phi Nn
2926, 28spcev 2946 . . . 4 Phi Nn Phi
3023, 29syl 15 . . 3 Nn Phi Phi
3130exlimiv 1634 . 2 Nn Phi Phi
329, 31syl 15 1 0c Phi
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cvv 2859   cdif 3206   cun 3207   cin 3208   wss 3257  c0 3550   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   Phi cphi 4562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565 This theorem is referenced by:  phiall  4618
 Copyright terms: Public domain W3C validator