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Theorem ncfinlower 4483
Description: If the unit power classes of two sets are in the same natural, then so are the sets themselves. Theorem X.1.26 of [Rosser] p. 527. (Contributed by SF, 22-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ncfinlower Nn 1 1 Nn
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ncfinlower
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ncfinlowerlem1 4482 . . . 4 1 1 Nn
2 eleq2 2414 . . . . . . 7 0c 1 1 0c
3 eleq2 2414 . . . . . . 7 0c 1 1 0c
42, 3anbi12d 691 . . . . . 6 0c 1 1 1 0c 1 0c
54imbi1d 308 . . . . 5 0c 1 1 Nn 1 0c 1 0c Nn
652albidv 1627 . . . 4 0c 1 1 Nn 1 0c 1 0c Nn
7 eleq2 2414 . . . . . . 7 1 1
8 eleq2 2414 . . . . . . 7 1 1
97, 8anbi12d 691 . . . . . 6 1 1 1 1
109imbi1d 308 . . . . 5 1 1 Nn 1 1 Nn
11102albidv 1627 . . . 4 1 1 Nn 1 1 Nn
12 eleq2 2414 . . . . . . 7 1c 1 1 1c
13 eleq2 2414 . . . . . . 7 1c 1 1 1c
1412, 13anbi12d 691 . . . . . 6 1c 1 1 1 1c 1 1c
1514imbi1d 308 . . . . 5 1c 1 1 Nn 1 1c 1 1c Nn
16152albidv 1627 . . . 4 1c 1 1 Nn 1 1c 1 1c Nn
17 eleq2 2414 . . . . . . 7 1 1
18 eleq2 2414 . . . . . . 7 1 1
1917, 18anbi12d 691 . . . . . 6 1 1 1 1
2019imbi1d 308 . . . . 5 1 1 Nn 1 1 Nn
21202albidv 1627 . . . 4 1 1 Nn 1 1 Nn
22 el0c 4421 . . . . . . 7 1 0c 1
23 pw10b 4166 . . . . . . 7 1
2422, 23bitri 240 . . . . . 6 1 0c
25 el0c 4421 . . . . . . 7 1 0c 1
26 pw10b 4166 . . . . . . 7 1
2725, 26bitri 240 . . . . . 6 1 0c
28 peano1 4402 . . . . . . . 8 0c Nn
29 nulel0c 4422 . . . . . . . 8 0c
30 eleq2 2414 . . . . . . . . 9 0c 0c
3130rspcev 2955 . . . . . . . 8 0c Nn 0c Nn
3228, 29, 31mp2an 653 . . . . . . 7 Nn
33 eleq1 2413 . . . . . . . . . 10
34 eleq1 2413 . . . . . . . . . 10
3533, 34bi2anan9 843 . . . . . . . . 9
36 anidm 625 . . . . . . . . 9
3735, 36syl6bb 252 . . . . . . . 8
3837rexbidv 2635 . . . . . . 7 Nn Nn
3932, 38mpbiri 224 . . . . . 6 Nn
4024, 27, 39syl2anb 465 . . . . 5 1 0c 1 0c Nn
4140gen2 1547 . . . 4 1 0c 1 0c Nn
42 nfv 1619 . . . . . . 7  F/ Nn
43 nfa1 1788 . . . . . . 7  F/1 1 Nn
4442, 43nfan 1824 . . . . . 6  F/ Nn 1 1 Nn
45 nfv 1619 . . . . . . . 8  F/ Nn
46 nfa2 1855 . . . . . . . 8  F/1 1 Nn
4745, 46nfan 1824 . . . . . . 7  F/ Nn 1 1 Nn
48 reeanv 2778 . . . . . . . . 9 1 1 1 1
49 reeanv 2778 . . . . . . . . . 10 1 1 1 1
50492rexbii 2641 . . . . . . . . 9 1 1 1 1
51 elsuc 4413 . . . . . . . . . 10 1 1c 1
52 elsuc 4413 . . . . . . . . . 10 1 1c 1
5351, 52anbi12i 678 . . . . . . . . 9 1 1c 1 1c 1 1
5448, 50, 533bitr4ri 269 . . . . . . . 8 1 1c 1 1c 1 1
55 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
56 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
57 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 1
5857eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 1
59 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 1
6059eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 1
6158, 60bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1 1 1
62 elequ1 1713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
63 elequ1 1713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6462, 63bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6564rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Nn Nn
6661, 65imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1 Nn 1 1 Nn
6766spc2gv 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 1 Nn 1 1 Nn
6855, 56, 67mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1 Nn 1 1 Nn
6968com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1 1 1 Nn Nn
7069ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn 1 1 1 1 Nn Nn
71 peano2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nn 1c Nn
7271ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Nn 1 1 Nn 1c Nn
73 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nn 1 1 Nn
74 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Nn 1 1
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nn 1 1 Nn
76 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7776elsuci 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1c
7873, 75, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Nn 1 1 Nn 1c
79 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nn 1 1 Nn
80 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Nn 1 1
8180adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nn 1 1 Nn
82 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8382elsuci 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1c
8479, 81, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Nn 1 1 Nn 1c
85 eleq2 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1c 1c
86 eleq2 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1c 1c
8785, 86anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1c 1c 1c
8887rspcev 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1c Nn 1c 1c Nn
8972, 78, 84, 88syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn 1 1 Nn Nn
9089expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn 1 1 Nn Nn
9190rexlimdva 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn 1 1 Nn Nn
9270, 91syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn 1 1 1 1 Nn Nn
9392imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn 1 1 1 1 Nn Nn
9493an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
95 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1
96953ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1
97 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1
98973ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1
9996, 98bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 1 1 1
100 compleq 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1
101 eleq12 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1
102100, 101sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1
103 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
104103elcompl 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1
105 snelpw1 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1
106104, 105xchbinx 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1
107102, 106syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1
108107ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1
1091083adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1
110 compleq 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1
111 eleq12 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1
112110, 111sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1
113 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
114113elcompl 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1
115 snelpw1 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1
116114, 115xchbinx 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1
117112, 116syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1
118117ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1
1191183adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1
120109, 119bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 1
12199, 120anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 1 1 1
122121anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 1 Nn 1 1 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
123 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1241233ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1
125 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1261253ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1
127124, 126bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 1
128127rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 1 Nn Nn
129122, 128imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 1 Nn 1 1 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
13094, 129mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1 Nn 1 1 Nn Nn
131130com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
132131exlimdvv 1637 . . . . . . . . . . . . 13 Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
133132exlimdvv 1637 . . . . . . . . . . . 12 Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
134 eeanv 1913 . . . . . . . . . . . . 13 1 1 1 1
135 eeanv 1913 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1 1 1
1361352exbii 1583 . . . . . . . . . . . . 13 1 1 1 1
137 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
138 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
139137, 138pw1eqadj 4332 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1
140 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
141 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
142140, 141pw1eqadj 4332 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1
143139, 142anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . 13 1 1 1 1
144134, 136, 1433bitr4ri 269 . . . . . . . . . . . 12 1 1 1 1
145 elequ2 1715 . . . . . . . . . . . . . 14
146 elequ2 1715 . . . . . . . . . . . . . 14
147145, 146anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13
148147cbvrexv 2836 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn
149133, 144, 1483imtr4g 261 . . . . . . . . . . 11 Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
150149expr 598 . . . . . . . . . 10 Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
151150rexlimdvv 2744 . . . . . . . . 9 Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
152151rexlimdvva 2745 . . . . . . . 8 Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
15354, 152syl5bi 208 . . . . . . 7 Nn 1 1 Nn 1 1c 1 1c Nn
15447, 153alrimi 1765 . . . . . 6 Nn 1 1 Nn 1 1c 1 1c Nn
15544, 154alrimi 1765 . . . . 5 Nn 1 1 Nn 1 1c 1 1c Nn
156155ex 423 . . . 4 Nn 1 1 Nn 1 1c 1 1c Nn
1571, 6, 11, 16, 21, 41, 156finds 4411 . . 3 Nn 1 1 Nn
158 elex 2867 . . . . . 6 1 1
159 pw1exb 4326 . . . . . 6 1
160158, 159sylib 188 . . . . 5 1
161 elex 2867 . . . . . 6 1 1
162 pw1exb 4326 . . . . . 6 1
163161, 162sylib 188 . . . . 5 1
164 pw1eq 4143 . . . . . . . . 9 1 1
165164eleq1d 2419 . . . . . . . 8 1 1
166 pw1eq 4143 . . . . . . . . 9 1 1
167166eleq1d 2419 . . . . . . . 8 1 1
168165, 167bi2anan9 843 . . . . . . 7 1 1 1 1
169 eleq1 2413 . . . . . . . . 9
170 eleq1 2413 . . . . . . . . 9
171169, 170bi2anan9 843 . . . . . . . 8
172171rexbidv 2635 . . . . . . 7 Nn Nn
173168, 172imbi12d 311 . . . . . 6 1 1 Nn 1 1 Nn
174173spc2gv 2942 . . . . 5 1 1 Nn 1 1 Nn
175160, 163, 174syl2an 463 . . . 4 1 1 1 1 Nn 1 1 Nn
176175pm2.43b 46 . . 3 1 1 Nn 1 1 Nn
177157, 176syl 15 . 2 Nn 1 1 Nn
1781773impib 1149 1 Nn 1 1 Nn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1540  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cun 3207  c0 3550  csn 3737  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379
This theorem is referenced by:  tfin11  4493  sfin112  4529  sfindbl  4530  sfinltfin  4535
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