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Theorem enpw1 6062
 Description: Two classes are equinumerous iff their unit power classes are equinumerous. Theorem XI.1.33 of [Rosser] p. 368. (Contributed by SF, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
enpw1 1 1

Proof of Theorem enpw1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brex 4689 . 2
2 brex 4689 . . 3 1 1 1 1
3 pw1exb 4326 . . . 4 1
4 pw1exb 4326 . . . 4 1
53, 4anbi12i 678 . . 3 1 1
62, 5sylib 188 . 2 1 1
7 breq1 4642 . . . 4
8 pw1eq 4143 . . . . 5 1 1
98breq1d 4649 . . . 4 1 1 1 1
107, 9bibi12d 312 . . 3 1 1 1 1
11 breq2 4643 . . . 4
12 pw1eq 4143 . . . . 5 1 1
1312breq2d 4651 . . . 4 1 1 1 1
1411, 13bibi12d 312 . . 3 1 1 1 1
15 bren 6030 . . . . 5
16 f1ofun 5289 . . . . . . . . . 10
17 funsi 5520 . . . . . . . . . 10 SI
1816, 17syl 15 . . . . . . . . 9 SI
19 f1odm 5290 . . . . . . . . . 10
20 dmsi 5519 . . . . . . . . . . 11 SI 1
21 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . 11 1 1
2220, 21syl5eq 2397 . . . . . . . . . 10 SI 1
2319, 22syl 15 . . . . . . . . 9 SI 1
24 df-fn 4790 . . . . . . . . 9 SI 1 SI SI 1
2518, 23, 24sylanbrc 645 . . . . . . . 8 SI 1
26 f1of1 5286 . . . . . . . . . . 11
27 df-f1 4792 . . . . . . . . . . . 12
2827simprbi 450 . . . . . . . . . . 11
29 funsi 5520 . . . . . . . . . . 11 SI
3026, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . 10 SI
31 cnvsi 5518 . . . . . . . . . . 11 SI SI
3231funeqi 5128 . . . . . . . . . 10 SI SI
3330, 32sylibr 203 . . . . . . . . 9 SI
34 f1ofo 5293 . . . . . . . . . 10
35 forn 5272 . . . . . . . . . 10
36 rnsi 5521 . . . . . . . . . . . 12 SI 1
37 dfrn4 4904 . . . . . . . . . . . 12 SI SI
3836, 37eqtr3i 2375 . . . . . . . . . . 11 1 SI
39 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . 11 1 1
4038, 39syl5eqr 2399 . . . . . . . . . 10 SI 1
4134, 35, 403syl 18 . . . . . . . . 9 SI 1
42 df-fn 4790 . . . . . . . . 9 SI 1 SI SI 1
4333, 41, 42sylanbrc 645 . . . . . . . 8 SI 1
44 dff1o4 5294 . . . . . . . 8 SI 1 1 SI 1 SI 1
4525, 43, 44sylanbrc 645 . . . . . . 7 SI 1 1
46 vex 2862 . . . . . . . . 9
4746siex 4753 . . . . . . . 8 SI
4847f1oen 6033 . . . . . . 7 SI 1 1 1 1
4945, 48syl 15 . . . . . 6 1 1
5049exlimiv 1634 . . . . 5 1 1
5115, 50sylbi 187 . . . 4 1 1
52 bren 6030 . . . . 5 1 1 1 1
53 f1ofun 5289 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1
54 fununiq 5517 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655sneqb 3876 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 56sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15
58573expib 1154 . . . . . . . . . . . . . 14
5953, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 1 1
6059alrimivv 1632 . . . . . . . . . . . 12 1 1
61 sneq 3744 . . . . . . . . . . . . . 14
6261breq2d 4651 . . . . . . . . . . . . 13
6362mo4 2237 . . . . . . . . . . . 12
6460, 63sylibr 203 . . . . . . . . . . 11 1 1
6564alrimiv 1631 . . . . . . . . . 10 1 1
66 funopab 5139 . . . . . . . . . 10
6765, 66sylibr 203 . . . . . . . . 9 1 1
68 dmopab 4915 . . . . . . . . . 10
69 eldm 4898 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 brelrn 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 f1ofo 5293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1 1 1
72 forn 5272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1 1
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1 1
7473eleq2d 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 1 1
75 elpw1 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1
76 breq2 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
77 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
78 sneq 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7978breq2d 4651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8077, 79spcev 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8176, 80syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8281rexlimivw 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8375, 82sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1
8474, 83syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 1
8584com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 1
8670, 85mpdi 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 1
8786exlimdv 1636 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1
8869, 87syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1
89 breldm 4911 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089exlimiv 1634 . . . . . . . . . . . . . 14
9188, 90impbid1 194 . . . . . . . . . . . . 13 1 1
92 f1odm 5290 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1 1
9392eleq2d 2420 . . . . . . . . . . . . 13 1 1 1
9491, 93bitr3d 246 . . . . . . . . . . . 12 1 1 1
95 snelpw1 4146 . . . . . . . . . . . 12 1
9694, 95syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11 1 1
9796abbi1dv 2469 . . . . . . . . . 10 1 1
9868, 97syl5eq 2397 . . . . . . . . 9 1 1
99 df-fn 4790 . . . . . . . . 9
10067, 98, 99sylanbrc 645 . . . . . . . 8 1 1
101 f1ocnv 5299 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1 1 1
102 f1ofun 5289 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1
103 fununiq 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1041033expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105 brcnv 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106 brcnv 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107105, 106anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108sneqb 3876 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110104, 107, 1093imtr3g 260 . . . . . . . . . . . . . . 15
111101, 102, 1103syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1
112111alrimivv 1632 . . . . . . . . . . . . 13 1 1
113 sneq 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15
114113breq1d 4649 . . . . . . . . . . . . . 14
115114mo4 2237 . . . . . . . . . . . . 13
116112, 115sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12 1 1
117116alrimiv 1631 . . . . . . . . . . 11 1 1
118 funopab 5139 . . . . . . . . . . 11
119117, 118sylibr 203 . . . . . . . . . 10 1 1
120 dmopab 4915 . . . . . . . . . . 11
121 elrn 4896 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122 breldm 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12392eleq2d 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1 1
124 elpw1 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1
125 breq1 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
126 sneq 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
127126breq1d 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12877, 127spcev 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
129125, 128syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130129rexlimivw 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131124, 130sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1
132123, 131syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 1
133132com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 1
134122, 133mpdi 38 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 1
135134exlimdv 1636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 1
136121, 135syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1
137 brelrn 4960 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138137exlimiv 1634 . . . . . . . . . . . . . . 15
139136, 138impbid1 194 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1
14073eleq2d 2420 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1 1
141139, 140bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . 13 1 1 1
142 snelpw1 4146 . . . . . . . . . . . . 13 1
143141, 142syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12 1 1
144143abbi1dv 2469 . . . . . . . . . . 11 1 1
145120, 144syl5eq 2397 . . . . . . . . . 10 1 1
146 df-fn 4790 . . . . . . . . . 10
147119, 145, 146sylanbrc 645 . . . . . . . . 9 1 1
148 cnvopab 5030 . . . . . . . . . 10
149148fneq1i 5178 . . . . . . . . 9
150147, 149sylibr 203 . . . . . . . 8 1 1
151 dff1o4 5294 . . . . . . . 8
152100, 150, 151sylanbrc 645 . . . . . . 7 1 1
153 enpw1lem1 6061 . . . . . . . 8
154153f1oen 6033 . . . . . . 7
155152, 154syl 15 . . . . . 6 1 1
156155exlimiv 1634 . . . . 5 1 1
15752, 156sylbi 187 . . . 4 1 1
15851, 157impbii 180 . . 3 1 1
15910, 14, 158vtocl2g 2918 . 2 1 1
1601, 6, 159pm5.21nii 342 1 1 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1540  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wmo 2205  cab 2339  wrex 2615  cvv 2859  csn 3737  1 cpw1 4135  copab 4622   class class class wbr 4639   SI csi 4720  ccnv 4771   cdm 4772   crn 4773   wfun 4775   wfn 4776  wf 4777  wf1 4778  wfo 4779  wf1o 4780   cen 6028 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-2nd 4797  df-en 6029 This theorem is referenced by:  ncpw1  6152  ce0addcnnul  6179  cenc  6181  tc11  6228
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