NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  sfin112 Unicode version
Theorem sfin112 4530
Description: Equality law for the finite S operator. Theorem X.1.43 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
sfin112 Sfin Sfin
Proof of Theorem sfin112
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3an6 1262 . . 3 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn Nn 1 Nn Nn 1
2 eeanv 1913 . . . 4 1 1 1 1
323anbi3i 1144 . . 3 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn Nn Nn Nn 1 1
4 df-sfin 4447 . . . 4 Sfin Nn Nn 1
5 df-sfin 4447 . . . 4 Sfin Nn Nn 1
64, 5anbi12i 678 . . 3 Sfin Sfin Nn Nn 1 Nn Nn 1
71, 3, 63bitr4ri 269 . 2 Sfin Sfin Nn Nn Nn Nn 1 1
8 simpllr 735 . . . . . . 7 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
9 simprll 738 . . . . . . 7 Nn Nn Nn Nn 1 1 1
10 simprrl 740 . . . . . . 7 Nn Nn Nn Nn 1 1 1
11 ncfinlower 4484 . . . . . . 7 Nn 1 1 Nn
128, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . . . 6 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
13 nnpweq 4524 . . . . . . . . . 10 Nn Nn
14133expb 1152 . . . . . . . . 9 Nn Nn
15 simp1rl 1020 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn Nn
16 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn Nn
17 simp2lr 1023 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
18 simp3rl 1028 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
19 nnceleq 4431 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn
2015, 16, 17, 18, 19syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
21 simp1rr 1021 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn Nn
22 simp2rr 1025 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
23 simp3rr 1029 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
24 nnceleq 4431 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn
2521, 16, 22, 23, 24syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
2620, 25eqtr4d 2388 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
27263expa 1151 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
2827expr 598 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
2928rexlimdva 2739 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
3014, 29syl5 28 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
3130exp3a 425 . . . . . . 7 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
3231rexlimdv 2738 . . . . . 6 Nn Nn Nn Nn 1 1 Nn
3312, 32mpd 14 . . . . 5 Nn Nn Nn Nn 1 1
3433ex 423 . . . 4 Nn Nn Nn Nn 1 1
3534exlimdvv 1637 . . 3 Nn Nn Nn Nn 1 1
36353impia 1148 . 2 Nn Nn Nn Nn 1 1
377, 36sylbi 187 1 Sfin Sfin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2616  cpw 3723  1 cpw1 4136   Nn cnnc 4374   Sfin wsfin 4439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-sfin 4447
This theorem is referenced by:  sfintfin  4533  vfinspsslem1  4551
  Copyright terms: Public domain W3C validator