Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elsuc 4414 |
. 2
 1  1c 

∼  1       |
2 | | vex 2863 |
. . . . . 6
 |
3 | | vex 2863 |
. . . . . 6
 |
4 | 2, 3 | pw1eqadj 4333 |
. . . . 5
 1          
  
1
     |
5 | | eleq1 2413 |
. . . . . . . . . . . 12
 1

1    |
6 | 5 | adantr 451 |
. . . . . . . . . . 11
  1
  

1    |
7 | | compleq 3244 |
. . . . . . . . . . . . 13
 1
∼ ∼ 1   |
8 | | eleq12 2415 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    ∼ ∼ 1   ∼  
∼ 1
   |
9 | | snex 4112 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
 |
10 | 9 | elcompl 3226 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   ∼
1   1   |
11 | | snelpw1 4147 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   1   |
12 | 10, 11 | xchbinx 301 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   ∼
1   |
13 | 8, 12 | syl6bb 252 |
. . . . . . . . . . . . 13
    ∼ ∼ 1   ∼    |
14 | 7, 13 | sylan2 460 |
. . . . . . . . . . . 12
    1   ∼    |
15 | 14 | ancoms 439 |
. . . . . . . . . . 11
  1
  

∼    |
16 | 6, 15 | anbi12d 691 |
. . . . . . . . . 10
  1
  
 
∼   1
    |
17 | 16 | anbi2d 684 |
. . . . . . . . 9
  1
  
 
Nn  ∼    Nn  1
     |
18 | | ncfinlower 4484 |
. . . . . . . . . . . 12
  Nn 1
1
  Nn     |
19 | 18 | 3anidm23 1241 |
. . . . . . . . . . 11
  Nn 1
  Nn     |
20 | 19 | adantrr 697 |
. . . . . . . . . 10
  Nn  1   
Nn 
   |
21 | | simp3l 983 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  Nn  1  
Nn 
   Nn  |
22 | | simp3rr 1029 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  Nn  1  
Nn 
     |
23 | | nnpweq 4524 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  Nn
  Nn   
   |
24 | 21, 22, 22, 23 | syl3anc 1182 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  Nn  1  
Nn 
   
Nn       |
25 | | simpl1 958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       Nn  |
26 | | simprl 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       Nn  |
27 | | simpl2l 1008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       1
  |
28 | | simprrr 741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
   Nn  1  
Nn 
   
Nn          |
29 | | vex 2863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 |
30 | | pw1eq 4144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 1 1   |
31 | 30 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
  1 1    |
32 | | pweq 3726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 
   |
33 | 32 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
  

   |
34 | 31, 33 | anbi12d 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   1
   1
     |
35 | 29, 34 | spcev 2947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  1
     1
    |
36 | 27, 28, 35 | syl2anc 642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   Nn  1  
Nn 
   
Nn          1

   |
37 | | df-sfin 4447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Sfin     Nn Nn    1
     |
38 | 25, 26, 36, 37 | syl3anbrc 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       Sfin      |
39 | | peano2 4404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 Nn 
1c
Nn  |
40 | 25, 39 | syl 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       
1c
Nn  |
41 | | nncaddccl 4420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
  Nn Nn   Nn  |
42 | 41 | anidms 626 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 Nn  
Nn  |
43 | 26, 42 | syl 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   Nn  1  
Nn 
   
Nn        
Nn  |
44 | | pw1un 4164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1    
 1 1     |
45 | | vex 2863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 |
46 | 45 | pw1sn 4166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1  
     |
47 | 46 | uneq2i 3416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 1 1     1
      |
48 | 44, 47 | eqtri 2373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1    
 1       |
49 | | simpl2r 1009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
   Nn  1  
Nn 
   
Nn         |
50 | 49, 11 | sylnibr 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
   Nn  1  
Nn 
   
Nn         1   |
51 | 9 | elsuci 4415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
  1
  1   1      
1c  |
52 | 27, 50, 51 | syl2anc 642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   Nn  1  
Nn 
   
Nn        1
     
1c  |
53 | 48, 52 | syl5eqel 2437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       1     
1c  |
54 | | simpl3l 1010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       Nn  |
55 | 22 | adantr 451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   Nn  1  
Nn 
   
Nn         |
56 | 45 | elcompl 3226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 ∼   |
57 | 49, 56 | sylibr 203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       ∼
  |
58 | | nnadjoinpw 4522 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   Nn Nn  ∼  
          |
59 | 54, 26, 55, 57, 28, 58 | syl221anc 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
   Nn  1  
Nn 
   
Nn                |
60 | 29, 9 | unex 4107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   
 |
61 | | pw1eq 4144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
     1 1       |
62 | 61 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
      1
 1c 1     
1c   |
63 | | pweq 3726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
     
 
     |
64 | 63 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
                   |
65 | 62, 64 | anbi12d 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
       1
 1c    
 1    
 1c     
      |
66 | 60, 65 | spcev 2947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  1     
1c
    
      1 
1c
      |
67 | 53, 59, 66 | syl2anc 642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   Nn  1  
Nn 
   
Nn          1
 1c       |
68 | | df-sfin 4447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Sfin  
1c     
1c
Nn  
Nn    1
 1c        |
69 | 40, 43, 67, 68 | syl3anbrc 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       Sfin  
1c      |
70 | 38, 69 | jca 518 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   Nn  1  
Nn 
   
Nn       Sfin  
 Sfin  
1c       |
71 | 70 | expr 598 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   Nn  1  
Nn 
   Nn   
  Sfin    Sfin  
1c        |
72 | 71 | reximdva 2727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  Nn  1  
Nn 
    
Nn     
Nn Sfin  
 Sfin  
1c        |
73 | 24, 72 | mpd 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
  Nn  1  
Nn 
   
Nn Sfin  
 Sfin  
1c       |
74 | 73 | 3expa 1151 |
. . . . . . . . . . . 12
   Nn  1   
Nn      Nn Sfin  
 Sfin  
1c       |
75 | 74 | expr 598 |
. . . . . . . . . . 11
   Nn  1  
Nn  
  Nn Sfin  
 Sfin  
1c        |
76 | 75 | rexlimdva 2739 |
. . . . . . . . . 10
  Nn  1     Nn 
  Nn Sfin    Sfin  
1c        |
77 | 20, 76 | mpd 14 |
. . . . . . . . 9
  Nn  1   
Nn Sfin  
 Sfin  
1c       |
78 | 17, 77 | syl6bi 219 |
. . . . . . . 8
  1
  
 
Nn  ∼   
Nn Sfin  
 Sfin  
1c        |
79 | 78 | 3adant1 973 |
. . . . . . 7
      1
    
Nn  ∼   
Nn Sfin  
 Sfin  
1c        |
80 | 79 | com12 27 |
. . . . . 6
  Nn  ∼    
    1
   
Nn Sfin  
 Sfin  
1c        |
81 | 80 | exlimdvv 1637 |
. . . . 5
  Nn  ∼             1
   
Nn Sfin  
 Sfin  
1c        |
82 | 4, 81 | syl5bi 208 |
. . . 4
  Nn  ∼    1
     Nn Sfin  
 Sfin  
1c        |
83 | 82 | rexlimdvva 2746 |
. . 3
 Nn    ∼  1      Nn Sfin    Sfin  
1c        |
84 | 83 | imp 418 |
. 2
  Nn   ∼  1     
 Nn Sfin
   Sfin  
1c       |
85 | 1, 84 | sylan2b 461 |
1
  Nn 1  1c
 Nn Sfin
   Sfin  
1c       |