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Theorem sfindbl 4530
 Description: If the unit power set of a set is in the successor of a finite cardinal, then there is a natural that is smaller than the finite cardinal and whose double is smaller than the successor of the cardinal. Theorem X.1.44 of [Rosser] p. 531. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
sfindbl Nn 1 1c Nn Sfin Sfin 1c
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem sfindbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elsuc 4413 . 2 1 1c 1
2 vex 2862 . . . . . 6
3 vex 2862 . . . . . 6
42, 3pw1eqadj 4332 . . . . 5 1 1
5 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . 12 1 1
65adantr 451 . . . . . . . . . . 11 1 1
7 compleq 3243 . . . . . . . . . . . . 13 1 1
8 eleq12 2415 . . . . . . . . . . . . . 14 1 1
9 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109elcompl 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1
11 snelpw1 4146 . . . . . . . . . . . . . . 15 1
1210, 11xchbinx 301 . . . . . . . . . . . . . 14 1
138, 12syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13 1
147, 13sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12 1
1514ancoms 439 . . . . . . . . . . 11 1
166, 15anbi12d 691 . . . . . . . . . 10 1 1
1716anbi2d 684 . . . . . . . . 9 1 Nn Nn 1
18 ncfinlower 4483 . . . . . . . . . . . 12 Nn 1 1 Nn
19183anidm23 1241 . . . . . . . . . . 11 Nn 1 Nn
2019adantrr 697 . . . . . . . . . 10 Nn 1 Nn
21 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn 1 Nn Nn
22 simp3rr 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn 1 Nn
23 nnpweq 4523 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn
2421, 22, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn 1 Nn Nn
25 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn 1 Nn Nn Nn
26 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn 1 Nn Nn Nn
27 simpl2l 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn 1 Nn Nn 1
28 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn 1 Nn Nn
29 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
30 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 1
3130eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1
32 pweq 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3332eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3431, 33anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1
3529, 34spcev 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 1
3627, 28, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn 1 Nn Nn 1
37 df-sfin 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Sfin Nn Nn 1
3825, 26, 36, 37syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn 1 Nn Nn Sfin
39 peano2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn 1c Nn
4025, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn 1 Nn Nn 1c Nn
41 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn Nn Nn
4241anidms 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn Nn
4326, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn 1 Nn Nn Nn
44 pw1un 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1 1
45 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4645pw1sn 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1
4746uneq2i 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1 1
4844, 47eqtri 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1
49 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Nn 1 Nn Nn
5049, 11sylnibr 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn 1 Nn Nn 1
519elsuci 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1 1 1c
5227, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn 1 Nn Nn 1 1c
5348, 52syl5eqel 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn 1 Nn Nn 1 1c
54 simpl3l 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn 1 Nn Nn Nn
5522adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn 1 Nn Nn
5645elcompl 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5749, 56sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn 1 Nn Nn
58 nnadjoinpw 4521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn Nn
5954, 26, 55, 57, 28, 58syl221anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn 1 Nn Nn
6029, 9unex 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 1
6261eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1c 1 1c
63 pweq 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6463eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6562, 64anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1c 1 1c
6660, 65spcev 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 1c 1 1c
6753, 59, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn 1 Nn Nn 1 1c
68 df-sfin 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Sfin 1c 1c Nn Nn 1 1c
6940, 43, 67, 68syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn 1 Nn Nn Sfin 1c
7038, 69jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn 1 Nn Nn Sfin Sfin 1c
7170expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn 1 Nn Nn Sfin Sfin 1c
7271reximdva 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn 1 Nn Nn Nn Sfin Sfin 1c
7324, 72mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13 Nn 1 Nn Nn Sfin Sfin 1c
74733expa 1151 . . . . . . . . . . . 12 Nn 1 Nn Nn Sfin Sfin 1c
7574expr 598 . . . . . . . . . . 11 Nn 1 Nn Nn Sfin Sfin 1c
7675rexlimdva 2738 . . . . . . . . . 10 Nn 1 Nn Nn Sfin Sfin 1c
7720, 76mpd 14 . . . . . . . . 9 Nn 1 Nn Sfin Sfin 1c
7817, 77syl6bi 219 . . . . . . . 8 1 Nn Nn Sfin Sfin 1c
79783adant1 973 . . . . . . 7 1 Nn Nn Sfin Sfin 1c
8079com12 27 . . . . . 6 Nn 1 Nn Sfin Sfin 1c
8180exlimdvv 1637 . . . . 5 Nn 1 Nn Sfin Sfin 1c
824, 81syl5bi 208 . . . 4 Nn 1 Nn Sfin Sfin 1c
8382rexlimdvva 2745 . . 3 Nn 1 Nn Sfin Sfin 1c
8483imp 418 . 2 Nn 1 Nn Sfin Sfin 1c
851, 84sylan2b 461 1 Nn 1 1c Nn Sfin Sfin 1c
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615   ∼ ccompl 3205   cun 3207  cpw 3722  csn 3737  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   Nn cnnc 4373   cplc 4375   Sfin wsfin 4438 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-sfin 4446 This theorem is referenced by:  sfintfin  4532
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