Theorem sfin112 4530

Description: Equality law for the finite S operator. Theorem X.1.43 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sfin112	⊢ (( Sfin (M, N) ∧ Sfin (M, P)) → N = P)

Proof of Theorem sfin112

Dummy variables x y n k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3an6 1262	. . 3 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) ∧ (∃x(𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ ∃y(𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) ↔ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ ∃x(𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N)) ∧ (M ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ∧ ∃y(𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))))
2		eeanv 1913	. . . 4 ⊢ (∃x∃y((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ↔ (∃x(𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ ∃y(𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)))
3	2	3anbi3i 1144	. . 3 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) ∧ ∃x∃y((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) ↔ ((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) ∧ (∃x(𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ ∃y(𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))))
4		df-sfin 4447	. . . 4 ⊢ ( Sfin (M, N) ↔ (M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ ∃x(𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N)))
5		df-sfin 4447	. . . 4 ⊢ ( Sfin (M, P) ↔ (M ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ∧ ∃y(𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)))
6	4, 5	anbi12i 678	. . 3 ⊢ (( Sfin (M, N) ∧ Sfin (M, P)) ↔ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ ∃x(𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N)) ∧ (M ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ∧ ∃y(𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))))
7	1, 3, 6	3bitr4ri 269	. 2 ⊢ (( Sfin (M, N) ∧ Sfin (M, P)) ↔ ((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) ∧ ∃x∃y((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))))
8		simpllr 735	. . . . . . 7 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → M ∈ Nn )
9		simprll 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → 𝒫1x ∈ M)
10		simprrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → 𝒫1y ∈ M)
11		ncfinlower 4484	. . . . . . 7 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ 𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫1y ∈ M) → ∃n ∈ Nn (x ∈ n ∧ y ∈ n))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1182	. . . . . 6 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → ∃n ∈ Nn (x ∈ n ∧ y ∈ n))
13		nnpweq 4524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ x ∈ n ∧ y ∈ n) → ∃k ∈ Nn (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))
14	13	3expb 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ (x ∈ n ∧ y ∈ n)) → ∃k ∈ Nn (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))
15		simp1rl 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → N ∈ Nn )
16		simp3l 983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → k ∈ Nn )
17		simp2lr 1023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → 𝒫 x ∈ N)
18		simp3rl 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → 𝒫 x ∈ k)
19		nnceleq 4431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((N ∈ Nn ∧ k ∈ Nn ) ∧ (𝒫 x ∈ N ∧ 𝒫 x ∈ k)) → N = k)
20	15, 16, 17, 18, 19	syl22anc 1183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → N = k)
21		simp1rr 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → P ∈ Nn )
22		simp2rr 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → 𝒫 y ∈ P)
23		simp3rr 1029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → 𝒫 y ∈ k)
24		nnceleq 4431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((P ∈ Nn ∧ k ∈ Nn ) ∧ (𝒫 y ∈ P ∧ 𝒫 y ∈ k)) → P = k)
25	21, 16, 22, 23, 24	syl22anc 1183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → P = k)
26	20, 25	eqtr4d 2388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → N = P)
27	26	3expa 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) ∧ (k ∈ Nn ∧ (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k))) → N = P)
28	27	expr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) ∧ k ∈ Nn ) → ((𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k) → N = P))
29	28	rexlimdva 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → (∃k ∈ Nn (𝒫 x ∈ k ∧ 𝒫 y ∈ k) → N = P))
30	14, 29	syl5 28	. . . . . . . 8 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → ((n ∈ Nn ∧ (x ∈ n ∧ y ∈ n)) → N = P))
31	30	exp3a 425	. . . . . . 7 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → (n ∈ Nn → ((x ∈ n ∧ y ∈ n) → N = P)))
32	31	rexlimdv 2738	. . . . . 6 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → (∃n ∈ Nn (x ∈ n ∧ y ∈ n) → N = P))
33	12, 32	mpd 14	. . . . 5 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ ((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → N = P)
34	33	ex 423	. . . 4 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) → (((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) → N = P))
35	34	exlimdvv 1637	. . 3 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) → (∃x∃y((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P)) → N = P))
36	35	3impia 1148	. 2 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ M ∈ Nn ) ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) ∧ ∃x∃y((𝒫1x ∈ M ∧ 𝒫 x ∈ N) ∧ (𝒫1y ∈ M ∧ 𝒫 y ∈ P))) → N = P)
37	7, 36	sylbi 187	1 ⊢ (( Sfin (M, N) ∧ Sfin (M, P)) → N = P)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2616  𝒫 cpw 3723  𝒫₁cpw1 4136   Nn cnnc 4374   S_fin wsfin 4439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-sfin 4447

This theorem is used by:  sfintfin  4533  vfinspsslem1  4551