Theorem srelkex 4525

Description: The expression at the core of srelk 4524 exists. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
srelkex	|- (( Nn X.k Nn ) i^i (( Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V

Proof of Theorem srelkex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncex 4396	. . 3 |- Nn e. _V
2	1, 1	xpkex 4289	. 2 |- ( Nn X.k Nn ) e. _V
3		1cex 4142	. . . . . . . . . . . 12 |- 1c e. _V
4	3	pwex 4329	. . . . . . . . . . 11 |- ~P1c e. _V
5		vvex 4109	. . . . . . . . . . 11 |- _V e. _V
6	4, 5	xpkex 4289	. . . . . . . . . 10 |- (~P1c X.k _V) e. _V
7		ssetkex 4294	. . . . . . . . . . . . 13 |- Sk e. _V
8	7	ins3kex 4308	. . . . . . . . . . . 12 |- Ins3k Sk e. _V
9	7	sikex 4297	. . . . . . . . . . . . 13 |- SIk Sk e. _V
10	9	ins2kex 4307	. . . . . . . . . . . 12 |- Ins2k SIk Sk e. _V
11	8, 10	symdifex 4108	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk ) e. _V
12	3	pw1ex 4303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P1 1c e. _V
13	12	pw1ex 4303	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P1 ~P1 1c e. _V
14	13	pw1ex 4303	. . . . . . . . . . 11 |- ~P1 ~P1 ~P1 1c e. _V
15	11, 14	imakex 4300	. . . . . . . . . 10 |- (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c) e. _V
16	6, 15	difex 4107	. . . . . . . . 9 |- ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V
17	16	sikex 4297	. . . . . . . 8 |- SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V
18	17	ins3kex 4308	. . . . . . 7 |- Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V
19	7	ins2kex 4307	. . . . . . 7 |- Ins2k Sk e. _V
20	18, 19	inex 4105	. . . . . 6 |- ( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk ) e. _V
21	20, 13	imakex 4300	. . . . 5 |- (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
22	21	ins3kex 4308	. . . 4 |- Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
23	11, 13	imakex 4300	. . . . . . . . . 10 |- (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
24	23	complex 4104	. . . . . . . . 9 |- ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
25	24	sikex 4297	. . . . . . . 8 |- SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
26	25	ins3kex 4308	. . . . . . 7 |- Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
27	26, 19	inex 4105	. . . . . 6 |- ( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk ) e. _V
28	27, 13	imakex 4300	. . . . 5 |- (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
29	28	ins2kex 4307	. . . 4 |- Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
30	22, 29	inex 4105	. . 3 |- ( Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c)) e. _V
31	30, 14	imakex 4300	. 2 |- (( Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 ~P1 1c) e. _V
32	2, 31	inex 4105	1 |- (( Nn X.k Nn ) i^i (( Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1710  _Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   \ cdif 3206   i^i cin 3208   (+) csymdif 3209  ~Pcpw 3722  1_cc1c 4134  ~P₁ cpw1 4135   X._k cxpk 4174   Ins2_k cins2k 4176   Ins3_k cins3k 4177  "_kcimak 4179   SI_k csik 4181   S_k cssetk 4183   Nn cnnc 4373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-addc 4378  df-nnc 4379

This theorem is referenced by:  sfintfinlem1  4531  spfinex  4537