Theorem srelkex 4526

Description: The expression at the core of srelk 4525 exists. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
srelkex	|- (( Nn X.k Nn ) i^i (( Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V

Proof of Theorem srelkex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncex 4397	. . 3 |- Nn e. _V
2	1, 1	xpkex 4290	. 2 |- ( Nn X.k Nn ) e. _V
3		1cex 4143	. . . . . . . . . . . 12 |- 1c e. _V
4	3	pwex 4330	. . . . . . . . . . 11 |- ~P1c e. _V
5		vvex 4110	. . . . . . . . . . 11 |- _V e. _V
6	4, 5	xpkex 4290	. . . . . . . . . 10 |- (~P1c X.k _V) e. _V
7		ssetkex 4295	. . . . . . . . . . . . 13 |- Sk e. _V
8	7	ins3kex 4309	. . . . . . . . . . . 12 |- Ins3k Sk e. _V
9	7	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . 13 |- SIk Sk e. _V
10	9	ins2kex 4308	. . . . . . . . . . . 12 |- Ins2k SIk Sk e. _V
11	8, 10	symdifex 4109	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk ) e. _V
12	3	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P1 1c e. _V
13	12	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P1 ~P1 1c e. _V
14	13	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . 11 |- ~P1 ~P1 ~P1 1c e. _V
15	11, 14	imakex 4301	. . . . . . . . . 10 |- (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c) e. _V
16	6, 15	difex 4108	. . . . . . . . 9 |- ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V
17	16	sikex 4298	. . . . . . . 8 |- SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V
18	17	ins3kex 4309	. . . . . . 7 |- Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V
19	7	ins2kex 4308	. . . . . . 7 |- Ins2k Sk e. _V
20	18, 19	inex 4106	. . . . . 6 |- ( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk ) e. _V
21	20, 13	imakex 4301	. . . . 5 |- (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
22	21	ins3kex 4309	. . . 4 |- Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
23	11, 13	imakex 4301	. . . . . . . . . 10 |- (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
24	23	complex 4105	. . . . . . . . 9 |- ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
25	24	sikex 4298	. . . . . . . 8 |- SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
26	25	ins3kex 4309	. . . . . . 7 |- Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
27	26, 19	inex 4106	. . . . . 6 |- ( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk ) e. _V
28	27, 13	imakex 4301	. . . . 5 |- (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
29	28	ins2kex 4308	. . . 4 |- Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
30	22, 29	inex 4106	. . 3 |- ( Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c)) e. _V
31	30, 14	imakex 4301	. 2 |- (( Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 ~P1 1c) e. _V
32	2, 31	inex 4106	1 |- (( Nn X.k Nn ) i^i (( Ins3k (( Ins3k SIk ((~P1c X.k _V) \ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k (( Ins3k SIk ∼ (( Ins3k Sk (+) Ins2k SIk Sk )"k~P1 ~P1 1c) i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   \ cdif 3207   i^i cin 3209   (+) csymdif 3210  ~Pcpw 3723  1_cc1c 4135  ~P₁ cpw1 4136   X._k cxpk 4175   Ins2_k cins2k 4177   Ins3_k cins3k 4178  "_kcimak 4180   SI_k csik 4182   S_k cssetk 4184   Nn cnnc 4374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-addc 4379  df-nnc 4380

This theorem is referenced by:  sfintfinlem1  4532  spfinex  4538