QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  1oaiii GIF version

Theorem 1oaiii 823
Description: OML analog to orthoarguesian law of Godowski/Greechie, Eq. III with 1 instead of 0 . (Contributed by NM, 1-Nov-1998.)
Assertion
Ref Expression
1oaiii ((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = ((a2 c) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))

Proof of Theorem 1oaiii
StepHypRef Expression
1 anass 76 . . . . 5 (((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = ((a2 b) ∩ (((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))))
2 anidm 111 . . . . . 6 (((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))
32lan 77 . . . . 5 ((a2 b) ∩ (((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))) = ((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
41, 3ax-r2 36 . . . 4 (((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = ((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
54ax-r1 35 . . 3 ((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = (((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
6 1oa 820 . . . 4 ((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) ≤ (a2 c)
76leran 153 . . 3 (((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) ≤ ((a2 c) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
85, 7bltr 138 . 2 ((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) ≤ ((a2 c) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
9 anass 76 . . . . 5 (((a2 c) ∩ ((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b)))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = ((a2 c) ∩ (((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))))
10 ancom 74 . . . . . . . . . 10 ((a2 c) ∩ (a2 b)) = ((a2 b) ∩ (a2 c))
1110ud1lem0a 255 . . . . . . . . 9 ((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b))) = ((cb) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))
12 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 (cb) = (bc)
1312ud1lem0b 256 . . . . . . . . 9 ((cb) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))) = ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))
1411, 13ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b))) = ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))
1514ran 78 . . . . . . 7 (((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = (((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
1615, 2ax-r2 36 . . . . . 6 (((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))
1716lan 77 . . . . 5 ((a2 c) ∩ (((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))) = ((a2 c) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
189, 17ax-r2 36 . . . 4 (((a2 c) ∩ ((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b)))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = ((a2 c) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
1918ax-r1 35 . . 3 ((a2 c) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = (((a2 c) ∩ ((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b)))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
20 1oa 820 . . . 4 ((a2 c) ∩ ((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b)))) ≤ (a2 b)
2120leran 153 . . 3 (((a2 c) ∩ ((cb) →1 ((a2 c) ∩ (a2 b)))) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) ≤ ((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
2219, 21bltr 138 . 2 ((a2 c) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) ≤ ((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
238, 22lebi 145 1 ((a2 b) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c)))) = ((a2 c) ∩ ((bc) →1 ((a2 b) ∩ (a2 c))))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  wo 6  wa 7  1 wi1 12  2 wi2 13
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  1oaii  824
  Copyright terms: Public domain W3C validator