Theorem 1oaiii 823

Description: OML analog to orthoarguesian law of Godowski/Greechie, Eq. III with →₁ instead of →₀ . (Contributed by NM, 1-Nov-1998.)

Assertion

Ref	Expression
1oaiii	((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))

Proof of Theorem 1oaiii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 76	. . . . 5 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
2		anidm 111	. . . . . 6 (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
3	2	lan 77	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
4	1, 3	ax-r2 36	. . . 4 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
5	4	ax-r1 35	. . 3 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
6		1oa 820	. . . 4 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ (a →2 c)
7	6	leran 153	. . 3 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
8	5, 7	bltr 138	. 2 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
9		anass 76	. . . . 5 (((a →2 c) ∩ ((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 c) ∩ (((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
10		ancom 74	. . . . . . . . . 10 ((a →2 c) ∩ (a →2 b)) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
11	10	ud1lem0a 255	. . . . . . . . 9 ((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) = ((c ∪ b) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
12		ax-a2 31	. . . . . . . . . 10 (c ∪ b) = (b ∪ c)
13	12	ud1lem0b 256	. . . . . . . . 9 ((c ∪ b) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
14	11, 13	ax-r2 36	. . . . . . . 8 ((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) = ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
15	14	ran 78	. . . . . . 7 (((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
16	15, 2	ax-r2 36	. . . . . 6 (((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
17	16	lan 77	. . . . 5 ((a →2 c) ∩ (((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
18	9, 17	ax-r2 36	. . . 4 (((a →2 c) ∩ ((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
19	18	ax-r1 35	. . 3 ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 c) ∩ ((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
20		1oa 820	. . . 4 ((a →2 c) ∩ ((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ≤ (a →2 b)
21	20	leran 153	. . 3 (((a →2 c) ∩ ((c ∪ b) →1 ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
22	19, 21	bltr 138	. 2 ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
23	8, 22	lebi 145	1 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))

Syntax hints:   = wb 1   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₁ wi1 12   →₂ wi2 13

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439

This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133

This theorem is referenced by:  1oaii  824