ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcnsr Unicode version

Theorem addcnsr 7064
Description: Addition of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 28-May-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcnsr  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  +  <. C ,  D >. )  =  <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D )
>. )

Proof of Theorem addcnsr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclsr 6992 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( A  +R  C
)  e.  R. )
21ad2ant2r 493 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( A  +R  C )  e.  R. )
3 addclsr 6992 . . . 4  |-  ( ( B  e.  R.  /\  D  e.  R. )  ->  ( B  +R  D
)  e.  R. )
43ad2ant2l 492 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( B  +R  D )  e.  R. )
5 opelxpi 4402 . . 3  |-  ( ( ( A  +R  C
)  e.  R.  /\  ( B  +R  D
)  e.  R. )  -> 
<. ( A  +R  C
) ,  ( B  +R  D ) >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
62, 4, 5syl2anc 403 . 2  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
7 simpll 496 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  ->  w  =  A )
8 simprl 498 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  ->  u  =  C )
97, 8oveq12d 5561 . . 3  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( w  +R  u
)  =  ( A  +R  C ) )
10 simplr 497 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
v  =  B )
11 simprr 499 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
f  =  D )
1210, 11oveq12d 5561 . . 3  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( v  +R  f
)  =  ( B  +R  D ) )
139, 12opeq12d 3586 . 2  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  ->  <. ( w  +R  u
) ,  ( v  +R  f ) >.  =  <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D )
>. )
14 df-add 7054 . . 3  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
15 df-c 7049 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
1615eleq2i 2146 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  <->  x  e.  ( R.  X.  R. )
)
1715eleq2i 2146 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  <->  y  e.  ( R.  X.  R. )
)
1816, 17anbi12i 448 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  <->  ( x  e.  ( R. 
X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
1918anbi1i 446 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)  <->  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
2019oprabbii 5591 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
2114, 20eqtri 2102 . 2  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
226, 13, 21ovi3 5668 1  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  +  <. C ,  D >. )  =  <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D )
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   <.cop 3409    X. cxp 4369  (class class class)co 5543   {coprab 5544   R.cnr 6549    +R cplr 6553   CCcc 7041    + caddc 7046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-iplp 6720  df-enr 6965  df-nr 6966  df-plr 6967  df-c 7049  df-add 7054
This theorem is referenced by:  addresr  7067  addcnsrec  7072  axaddcl  7094  axaddcom  7098  ax0id  7106  axcnre  7109
  Copyright terms: Public domain W3C validator