ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsr Unicode version

Theorem mulcnsr 6969
Description: Multiplication of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsr  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  x.  <. C ,  D >. )  =  <. ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D ) ) >.
)

Proof of Theorem mulcnsr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclsr 6897 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( A  .R  C
)  e.  R. )
21ad2ant2r 486 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( A  .R  C )  e.  R. )
3 m1r 6895 . . . . 5  |-  -1R  e.  R.
4 mulclsr 6897 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  R.  /\  D  e.  R. )  ->  ( B  .R  D
)  e.  R. )
54ad2ant2l 485 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( B  .R  D )  e.  R. )
6 mulclsr 6897 . . . . 5  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( B  .R  D )  e.  R. )  -> 
( -1R  .R  ( B  .R  D ) )  e.  R. )
73, 5, 6sylancr 399 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( -1R  .R  ( B  .R  D
) )  e.  R. )
8 addclsr 6896 . . . 4  |-  ( ( ( A  .R  C
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) )  e.  R. )  -> 
( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) )  e.  R. )
92, 7, 8syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) )  e.  R. )
10 mulclsr 6897 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( B  .R  C
)  e.  R. )
1110ad2ant2lr 487 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( B  .R  C )  e.  R. )
12 mulclsr 6897 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  D  e.  R. )  ->  ( A  .R  D
)  e.  R. )
1312ad2ant2rl 488 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( A  .R  D )  e.  R. )
14 addclsr 6896 . . . 4  |-  ( ( ( B  .R  C
)  e.  R.  /\  ( A  .R  D )  e.  R. )  -> 
( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D ) )  e.  R. )
1511, 13, 14syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D
) )  e.  R. )
16 opelxpi 4404 . . 3  |-  ( ( ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) )  e.  R.  /\  (
( B  .R  C
)  +R  ( A  .R  D ) )  e.  R. )  ->  <. ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D
) ) >.  e.  ( R.  X.  R. )
)
179, 15, 16syl2anc 397 . 2  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  <. ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C
)  +R  ( A  .R  D ) )
>.  e.  ( R.  X.  R. ) )
18 simpll 489 . . . . 5  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  ->  w  =  A )
19 simprl 491 . . . . 5  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  ->  u  =  C )
2018, 19oveq12d 5558 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( w  .R  u
)  =  ( A  .R  C ) )
21 simplr 490 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
v  =  B )
22 simprr 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
f  =  D )
2321, 22oveq12d 5558 . . . . 5  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( v  .R  f
)  =  ( B  .R  D ) )
2423oveq2d 5556 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( -1R  .R  (
v  .R  f )
)  =  ( -1R 
.R  ( B  .R  D ) ) )
2520, 24oveq12d 5558 . . 3  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  ( v  .R  f ) ) )  =  ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) )
2621, 19oveq12d 5558 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( v  .R  u
)  =  ( B  .R  C ) )
2718, 22oveq12d 5558 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( w  .R  f
)  =  ( A  .R  D ) )
2826, 27oveq12d 5558 . . 3  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( ( v  .R  u )  +R  (
w  .R  f )
)  =  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D ) ) )
2925, 28opeq12d 3585 . 2  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  ->  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >.  =  <. ( ( A  .R  C
)  +R  ( -1R 
.R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D
) ) >. )
30 df-mul 6959 . . 3  |-  x.  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
31 df-c 6953 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
3231eleq2i 2120 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  <->  x  e.  ( R.  X.  R. )
)
3331eleq2i 2120 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  <->  y  e.  ( R.  X.  R. )
)
3432, 33anbi12i 441 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  <->  ( x  e.  ( R. 
X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
3534anbi1i 439 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
)  <->  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) )
3635oprabbii 5588 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
3730, 36eqtri 2076 . 2  |-  x.  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
3817, 29, 37ovi3 5665 1  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  x.  <. C ,  D >. )  =  <. ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D ) ) >.
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   <.cop 3406    X. cxp 4371  (class class class)co 5540   {coprab 5541   R.cnr 6453   -1Rcm1r 6456    +R cplr 6457    .R cmr 6458   CCcc 6945    x. cmul 6952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-imp 6625  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-mr 6872  df-m1r 6876  df-c 6953  df-mul 6959
This theorem is referenced by:  mulresr  6972  mulcnsrec  6977  axmulcl  7000  axi2m1  7007  axcnre  7013
  Copyright terms: Public domain W3C validator