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Theorem bcm1k 9784
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with  K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 9124 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 nnuz 8735 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2syl6eleqr 2173 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 8408 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
54faccld 9760 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
65nncnd 8120 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
7 fznn0sub 9151 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
8 nn0p1nn 8394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
97, 8syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
109nnnn0d 8408 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN0 )
1110faccld 9760 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  NN )
12 elfznn 9149 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
13 nnm1nn0 8396 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
14 faccl 9759 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  e.  NN )
1512, 13, 143syl 17 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  NN )
1611, 15nnmulcld 8154 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN )
1716nncnd 8120 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  CC )
189nncnd 8120 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  CC )
1912nncnd 8120 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
2016nnap0d 8151 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) #  0 )
2112nnap0d 8151 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K #  0 )
226, 17, 18, 19, 20, 21divmuldivapd 7985 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
23 elfzel2 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
2423zcnd 8551 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
25 1cnd 7197 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
2624, 19, 25subsubd 7514 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
2726fveq2d 5213 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
2827oveq1d 5558 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )
2928oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) ) )
3026oveq1d 5558 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K ) )
3129, 30oveq12d 5561 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K
) ) )
32 facp1 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) )
337, 32syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
3433eqcomd 2087 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
35 facnn2 9758 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
3612, 35syl 14 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
3734, 36oveq12d 5561 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 K ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
387faccld 9760 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  NN )
3938nncnd 8120 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  CC )
4012nnnn0d 8408 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
4140faccld 9760 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
4241nncnd 8120 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
4339, 42, 18mul32d 7328 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  K
) ) )
4411nncnd 8120 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  CC )
4515nncnd 8120 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  CC )
4644, 45, 19mulassd 7204 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
4737, 43, 463eqtr4d 2124 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) )  x.  K ) )
4847oveq2d 5559 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
4922, 31, 483eqtr4d 2124 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) ) )
506, 18mulcomd 7202 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N
) ) )
5138, 41nnmulcld 8154 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  NN )
5251nncnd 8120 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  CC )
5352, 18mulcomd 7202 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
5450, 53oveq12d 5561 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ! `  N ) )  / 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) ) )
5551nnap0d 8151 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) #  0 )
569nnap0d 8151 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 ) #  0 )
576, 52, 18, 55, 56divcanap5d 7970 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N )
)  /  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
5849, 54, 573eqtrrd 2119 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
59 0p1e1 8220 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6059oveq1i 5553 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
61 0z 8443 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
62 fzp1ss 9166 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
6361, 62ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
)
6460, 63eqsstr3i 3031 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
6564sseli 2996 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
66 bcval2 9774 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
6765, 66syl 14 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
68 ax-1cn 7131 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
69 npcan 7384 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7024, 68, 69sylancl 404 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
71 peano2zm 8470 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
72 uzid 8714 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
73 peano2uz 8752 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
7423, 71, 72, 734syl 18 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
7570, 74eqeltrrd 2157 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
76 fzss2 9158 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
7775, 76syl 14 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
78 elfzmlbm 9219 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
7977, 78sseldd 3001 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
80 bcval2 9774 . . . 4  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
8179, 80syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
8281oveq1d 5558 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
8358, 67, 823eqtr4d 2124 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434    C_ wss 2974   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    x. cmul 7048    - cmin 7346    / cdiv 7827   NNcn 8106   NN0cn0 8355   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105   !cfa 9749    _C cbc 9771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-fz 9106  df-iseq 9522  df-fac 9750  df-bc 9772
This theorem is referenced by:  bcp1nk  9786  bcpasc  9790
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