Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcm1k Unicode version

Theorem bcm1k 9784
 Description: The proportion of one binomial coefficient to another with decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 9124 . . . . . . . . 9
2 nnuz 8735 . . . . . . . . 9
31, 2syl6eleqr 2173 . . . . . . . 8
43nnnn0d 8408 . . . . . . 7
54faccld 9760 . . . . . 6
65nncnd 8120 . . . . 5
7 fznn0sub 9151 . . . . . . . . . 10
8 nn0p1nn 8394 . . . . . . . . . 10
97, 8syl 14 . . . . . . . . 9
109nnnn0d 8408 . . . . . . . 8
1110faccld 9760 . . . . . . 7
12 elfznn 9149 . . . . . . . 8
13 nnm1nn0 8396 . . . . . . . 8
14 faccl 9759 . . . . . . . 8
1512, 13, 143syl 17 . . . . . . 7
1611, 15nnmulcld 8154 . . . . . 6
1716nncnd 8120 . . . . 5
189nncnd 8120 . . . . 5
1912nncnd 8120 . . . . 5
2016nnap0d 8151 . . . . 5 #
2112nnap0d 8151 . . . . 5 #
226, 17, 18, 19, 20, 21divmuldivapd 7985 . . . 4
23 elfzel2 9119 . . . . . . . . . 10
2423zcnd 8551 . . . . . . . . 9
25 1cnd 7197 . . . . . . . . 9
2624, 19, 25subsubd 7514 . . . . . . . 8
2726fveq2d 5213 . . . . . . 7
2827oveq1d 5558 . . . . . 6
2928oveq2d 5559 . . . . 5
3026oveq1d 5558 . . . . 5
3129, 30oveq12d 5561 . . . 4
32 facp1 9754 . . . . . . . . 9
337, 32syl 14 . . . . . . . 8
3433eqcomd 2087 . . . . . . 7
35 facnn2 9758 . . . . . . . 8
3612, 35syl 14 . . . . . . 7
3734, 36oveq12d 5561 . . . . . 6
387faccld 9760 . . . . . . . 8
3938nncnd 8120 . . . . . . 7
4012nnnn0d 8408 . . . . . . . . 9
4140faccld 9760 . . . . . . . 8
4241nncnd 8120 . . . . . . 7
4339, 42, 18mul32d 7328 . . . . . 6
4411nncnd 8120 . . . . . . 7
4515nncnd 8120 . . . . . . 7
4644, 45, 19mulassd 7204 . . . . . 6
4737, 43, 463eqtr4d 2124 . . . . 5
4847oveq2d 5559 . . . 4
4922, 31, 483eqtr4d 2124 . . 3
506, 18mulcomd 7202 . . . 4
5138, 41nnmulcld 8154 . . . . . 6
5251nncnd 8120 . . . . 5
5352, 18mulcomd 7202 . . . 4
5450, 53oveq12d 5561 . . 3
5551nnap0d 8151 . . . 4 #
569nnap0d 8151 . . . 4 #
576, 52, 18, 55, 56divcanap5d 7970 . . 3
5849, 54, 573eqtrrd 2119 . 2
59 0p1e1 8220 . . . . . 6
6059oveq1i 5553 . . . . 5
61 0z 8443 . . . . . 6
62 fzp1ss 9166 . . . . . 6
6361, 62ax-mp 7 . . . . 5
6460, 63eqsstr3i 3031 . . . 4
6564sseli 2996 . . 3
66 bcval2 9774 . . 3
6765, 66syl 14 . 2
68 ax-1cn 7131 . . . . . . . 8
69 npcan 7384 . . . . . . . 8
7024, 68, 69sylancl 404 . . . . . . 7
71 peano2zm 8470 . . . . . . . 8
72 uzid 8714 . . . . . . . 8
73 peano2uz 8752 . . . . . . . 8
7423, 71, 72, 734syl 18 . . . . . . 7
7570, 74eqeltrrd 2157 . . . . . 6
76 fzss2 9158 . . . . . 6
7775, 76syl 14 . . . . 5
78 elfzmlbm 9219 . . . . 5
7977, 78sseldd 3001 . . . 4
80 bcval2 9774 . . . 4
8179, 80syl 14 . . 3
8281oveq1d 5558 . 2
8358, 67, 823eqtr4d 2124 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1285   wcel 1434   wss 2974  cfv 4932  (class class class)co 5543  cc 7041  cc0 7043  c1 7044   caddc 7046   cmul 7048   cmin 7346   cdiv 7827  cn 8106  cn0 8355  cz 8432  cuz 8700  cfz 9105  cfa 9749   cbc 9771 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-fz 9106  df-iseq 9522  df-fac 9750  df-bc 9772 This theorem is referenced by:  bcp1nk  9786  bcpasc  9790
 Copyright terms: Public domain W3C validator